数据结构和算法笔记5：堆和优先队列

小林up2024-02-01 8:17

今天来讲一下堆，在网上看到一个很好的文章，不过它实现堆是用Golang写的，我这里打算用C++实现一下：

Golang: Heap data structure

1. 基本概念

  • 满二叉树（二叉树每层节点都是满的）：
  • 完全二叉树 ：叶子节点只出现在最后一层或倒数第二层，并且节点都是向左聚拢
  • 非完全二叉树：下面的二叉树不满足完全二叉树的节点都向左聚拢，所以是非完全二叉树

堆也是一颗完全二叉树。

  • 小顶堆：根节点是最小值，并且子节点大于等于父节点
  • 大顶堆 ：根节点是最大值，并且子节点小于等于父节点

由于树的特性，堆可以用数组索引的形式表示，以小顶堆为例，在下面的小顶堆里，依次从上到下从左往右给节点编号，根节点的编号是0,：

对应的数组为：

对比数组和堆，堆的索引有以下的性质：

  1. 根节点索引是0
  2. 若当前节点索引为i，如果它有父节点，父节点的索引是(i-1)/2（C++向下取整）
  3. 若当前节点索引为i，如果它有左节点，左节点的索引是2*i+1，如果它有右节点，右节点的索引是2*i+2
  4. 设数组的长度为len，最后一个非叶子节点的索引是(len-2)/2，比如上面的K是9，最后一个非叶子节点的索引是(9-2)/2=3

2. 堆的基本操作

C++有heapn内置函数来实现，具体看c++重拾 STL之heap（堆）。这里我们讲解原理，下面以小顶堆为例描述堆的相关操作

2.0 交换节点操作

我们先定义交换节点的操作，为后面调整为堆做准备：

cpp 复制代码 
void HeapSwap(vector<int> &minHeap, int curIndex, int swapIndex)
{
    int t = minHeap[curIndex];
    minHeap[curIndex] = minHeap[swapIndex];
    minHeap[swapIndex] = t;
}

2.1 下浮操作

下浮操作是通过下浮的方式把一个完全二叉树调整为堆，具体的步骤是将它与它的左儿子，右儿子比较大小，如果不满足小顶堆的性质（当前节点的值大于等于左右孩子的节点的值），当前节点需要与左右孩子的最小值节点交换位置（否则不满足堆的性质），递归的完成这个过程。（时间复杂度是log(n)）



我们定义一个swapIndex，记录需要交换调整的节点索引，如果需要调整，这个索引是当前节点和左右子节点索引的最小值，这个过程要注意判断边界条件：

cpp 复制代码 
void HeapSiftDown(vector<int> &minHeap, int curIndex)
{
    int leftChildIndex = 2 * curIndex + 1;  // 左孩子节点的索引
    int rightChildIndex = 2 * curIndex + 2; // 右孩子节点的索引
    int swapIndex = curIndex;               // 定义调整的节点索引

    // 判断左右孩子是否小于当前元素，如果是把swapIndex赋值为孩子索引
    if (leftChildIndex < minHeap.size() && minHeap[leftChildIndex] < minHeap[swapIndex])
        swapIndex = leftChildIndex;
    if (rightChildIndex < minHeap.size() && minHeap[rightChildIndex] < minHeap[swapIndex])
        swapIndex = rightChildIndex;

    // 判断交换索引和当前索引是不是一样，如果不一样说明要交换，然后继续SiftDown，直到到最后一个节点
    if (curIndex != swapIndex)
    {
        HeapSwap(minHeap, curIndex, swapIndex);
        HeapSiftDown(minHeap, swapIndex);
    }
}

2.2 上浮操作

上浮操作是通过上浮的方式把一个完全二叉树调整为堆，具体的步骤是将它与它的父亲节点比较大小，如果不满足小顶堆的性质（父亲的节点的值大于等于当前节点的值），当前节点与父亲节点交换位置（否则不满足堆的性质），递归的完成这个过程。（时间复杂度是log(n)）


我们类似上浮操作定义一个swapIndex，记录需要交换调整的节点索引，如果需要调整，这个索引是父亲节点的索引，这个过程要注意判断边界条件：

cpp 复制代码 
void HeapSiftUp(vector<int> &minHeap, int curIndex)
{
    int parentIndex = (curIndex - 1) / 2;//父亲节点的索引
    int swapIndex = curIndex;// 定义调整的节点索引

	// 判断左右孩子是否小于当前元素，如果是把swapIndex赋值为孩子索引
    if (parentIndex >= 0 && minHeap[curIndex] < minHeap[parentIndex])
        swapIndex = parentIndex;
    // 判断交换索引和当前索引是不是一样，如果不一样说明要交换，然后继续SiftUp，直到到最后一个节点
    if (curIndex != swapIndex)
    {
        HeapSwap(minHeap, curIndex, swapIndex);
        HeapSiftUp(minHeap, swapIndex);
    }
}

2.3 给定一个数组建堆

建堆有上浮和下浮两种方法：

如果是下浮的方法，可以直接从最后一个不是叶节点的节点开始往上下浮（叶子节点没有左右孩子一定不需要交换）。这里使用了前面堆索引性质的第四条：

设数组的长度为len，最后一个非叶子节点的索引是(len-2)/2

cpp 复制代码 
void HeapBuild(vector<int> &array)
{
    int lastNoLeafIndex = (array.size() - 2) / 2;
    for (int i = lastNoLeafIndex; i >= 0; i--)//从最后一个不是叶节点的节点开始往上下浮
        HeapSiftDown(array, i);
}

如果是上浮的方法，则从索引为1节点开始往下上浮（根节点没有父亲节点一定不需要交换）。

cpp 复制代码 
void HeapBuild(vector<int> &array)
{
    for (int i = 1; i < array.size(); ++i)//从索引为1节点开始往下上浮
        HeapSiftUp(array, i);
}

使用下浮建堆的时间复杂度是O(n)，而使用上浮建堆的时间复杂度是O(nlogn)，建议使用下浮建堆。关于复杂度参考How can building a heap be O(n) time complexity?

2.4 Pop操作

pop操作是把根节点弹出返回，并重新调整剩余元素构成的数组为堆，数组的长度为len，这里我们把根节点和最后一个节点交换，中间要保留根节点的值，然后把数组调整为len-1（因为弹出一个元素了），重新用下浮调整为堆，然后返回堆的根节点的值。时间复杂度是log(n)

cpp 复制代码 
int HeapPop(vector<int> &minHeap)
{
    int value = minHeap[0];//保留堆的根节点的值
    int len = minHeap.size();//记录堆的大小
    HeapSwap(minHeap, 0, len - 1);//把堆的根节点和最后一个节点交换
    minHeap.resize(len - 1);//调整数组长度为len-1
    HeapSiftDown(minHeap, 0);//下浮调整为堆
    return value;//返回堆的根节点的值
}

2.5 Push操作

push操作是在数组末尾加入元素num，然后重新调整成堆。相比pop操作，push操作就简单很多了，我们先在数组末尾加入元素num，然后从最后一个元素的索引开始使用上浮即可。时间复杂度是log(n)

cpp 复制代码 
void HeapPush(vector<int> &minHeap, int num)
{
    minHeap.push_back(num);//在数组末尾加入元素num
    HeapSiftUp(minHeap, minHeap.size() - 1);//从最后一个元素的索引开始使用上浮
}

测试：

完整代码：

cpp 复制代码 
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

void HeapSiftDown(vector<int> &minHeap, int curIndex);
void HeapSiftUp(vector<int> &minHeap, int curIndex);
void HeapSwap(vector<int> &minHeap, int curIndex, int swapIndex);
void HeapBuild(vector<int> &array);
void HeapPush(vector<int> &minHeap, int num);

void HeapBuild(vector<int> &array)
{
    int lastNoLeafIndex = (array.size() - 2) / 2;
    for (int i = lastNoLeafIndex; i >= 0; i--)
        HeapSiftDown(array, i);
}

void HeapSiftDown(vector<int> &minHeap, int curIndex)
{
    int leftChildIndex = 2 * curIndex + 1; 
    int rightChildIndex = 2 * curIndex + 2;
    int swapIndex = curIndex;               

    if (leftChildIndex < minHeap.size() && minHeap[leftChildIndex] < minHeap[swapIndex])
        swapIndex = leftChildIndex;
    if (rightChildIndex < minHeap.size() && minHeap[rightChildIndex] < minHeap[swapIndex])
        swapIndex = rightChildIndex;

    if (curIndex != swapIndex)
    {
        HeapSwap(minHeap, curIndex, swapIndex);
        HeapSiftDown(minHeap, swapIndex);
    }
}

void HeapSiftUp(vector<int> &minHeap, int curIndex)
{
    int parentIndex = (curIndex - 1) / 2;
    int swapIndex = curIndex;
    if (parentIndex >= 0 && minHeap[curIndex] < minHeap[parentIndex])
        swapIndex = parentIndex;

    if (curIndex != swapIndex)
    {
        HeapSwap(minHeap, curIndex, swapIndex);
        HeapSiftUp(minHeap, swapIndex);
    }
}
void HeapSwap(vector<int> &minHeap, int curIndex, int swapIndex)
{
    int t = minHeap[curIndex];
    minHeap[curIndex] = minHeap[swapIndex];
    minHeap[swapIndex] = t;
}

int HeapPop(vector<int> &minHeap)
{
    int value = minHeap[0];
    int len = minHeap.size();
    HeapSwap(minHeap, 0, len - 1);
    minHeap.resize(len - 1);
    HeapSiftDown(minHeap, 0);
    return value;
}

void HeapPush(vector<int> &minHeap, int num)
{
    minHeap.push_back(num);
    HeapSiftUp(minHeap, minHeap.size() - 1);
}

int main()
{
    vector<int> array{9, 31, 40, 22, 10, 15, 1, 25, 91};
    cout << "The origin array is " << endl;
    for (auto &t : array)
        cout << t << " ";
    cout << endl
         << "---------------------------------------------------" << endl;

    // 建堆
    HeapBuild(array);
    cout << "After build the heap, the array is " << endl;
    for (auto &t : array)
        cout << t << " ";
    cout << endl
         << "---------------------------------------------------" << endl;

    // pop元素
    int top = HeapPop(array);
    cout << "The pop value is " << top << endl;
    cout << "After pop, the array is " << endl;
    for (auto &t : array)
        cout << t << " ";
    cout << endl
         << "---------------------------------------------------" << endl;

    // push元素
    HeapPush(array, 1);
    cout << "After push, the array is " << endl;
    for (auto &t : array)
        cout << t << " ";
    cout << endl
         << "---------------------------------------------------" << endl;
}

可以自行印证上面满足小顶堆。大顶堆的思路和小顶堆的思路差不多。读者可以自己实现一下。

3. 堆的相关使用

3.1 堆排序

堆排序基本的思路是：

  1. 初始化：数组建堆
  2. 数组的根节点和堆的最后一个节点交换
  3. 剩余元素重新排成堆（堆的长度减1），然后继续第2步操作直到数组的长度为1

这里也放一个算法导论的截图（不过它的根节点的索引是1），思路是差不多的：

我们这里使用小顶堆，小顶堆的根节点是最小值，每次第2步和后面的节点做交换，所以最后排序是从大到小（最小值根节点都放到数组的后面）。

前面的建堆是对整个数组来说的，但是对于堆排序，我们需要划定要排序数组的范围，所以我们对建堆和下浮两个操作另外定义一个函数：

  • HeapSiftDown函数

注意这里的数组越界处理改为了传入的heapLength，我们只需要对0-heapLength-1范围的数组做下浮的操作

cpp 复制代码 
void HeapSiftDown(vector<int> &minHeap, int curIndex, int heapLength)
{
    int leftChildIndex = 2 * curIndex + 1;  // 左孩子节点的索引
    int rightChildIndex = 2 * curIndex + 2; // 右孩子节点的索引
    int swapIndex = curIndex;               // 定义和当前索引交换的索引

    // 判断左右孩子是否小于当前元素，如果是把swapIndex换给孩子索引，注意这里的数组越界处理改为了传入的heapLength 
    if (leftChildIndex < heapLength && minHeap[leftChildIndex] < minHeap[swapIndex])
        swapIndex = leftChildIndex;
    if (rightChildIndex < heapLength && minHeap[rightChildIndex] < minHeap[swapIndex])
        swapIndex = rightChildIndex;

    // 判断交换索引和当前索引是不是一样，如果不一样说明要交换，继续SiftDown，直到到最后一个节点
    if (curIndex != swapIndex)
    {
        HeapSwap(minHeap, curIndex, swapIndex);
        HeapSiftDown(minHeap, swapIndex, heapLength);
    }
}
  • HeapBuild函数

注意这里的计算最后一个非叶子节点的索引使用了传入的heapLength，相当于对0-heapLength-1范围的数组建堆

cpp 复制代码 
void HeapBuild(vector<int> &array, int heapLength)
{
    int lastNoLeafIndex = (heapLength - 2) / 2;//注意这里最后一个非叶子节点的索引使用的是传入的heapLength
    for (int i = lastNoLeafIndex; i >= 0; i--)
        HeapSiftDown(array, i, heapLength);
}

OK我们可以写堆排序了，传入一个数组：

cpp 复制代码 
void HeapSort(vector<int> &array)
{
    int heapLength = array.size();//建堆的长度
    int len = array.size();//数组的长度
    HeapBuild(array, heapLength);
    for (int i = len - 1; i >= 1; --i)//遍历到索引1就行，索引0不需要遍历，因为只有一个数了
    {
        HeapSwap(array, 0, i);//把索引0（根节点）和索引i节点交换
        heapLength--;//建堆的长度减1
        HeapBuild(array, heapLength);//再次对0~heapLength-1的数组建堆
    }
}

测试堆排序

cpp 复制代码 
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
void HeapBuild(vector<int> &array, int heapLength);
void HeapSort(vector<int> &array);

void HeapBuild(vector<int> &array, int heapLength)
{
    int lastNoLeafIndex = (heapLength - 2) / 2;//注意这里最后一个非叶子节点的索引使用的是传入的heapLength
    for (int i = lastNoLeafIndex; i >= 0; i--)
        HeapSiftDown(array, i, heapLength);
}
void HeapSort(vector<int> &array)
{
    int heapLength = array.size();//建堆的长度
    int len = array.size();//数组的长度
    HeapBuild(array, heapLength);
    for (int i = len - 1; i >= 1; --i)//遍历到索引1就行，索引0不需要遍历，因为只有一个数了
    {
        HeapSwap(array, 0, i);//把索引0（根节点）和索引i节点交换
        heapLength--;//建堆的长度减1
        HeapBuild(array, heapLength);//再次对0~heapLength-1的数组建堆
    }
}
int main()
{
    vector<int> array{9, 31, 40, 22, 10, 15, 1, 25, 91};
    cout << "The origin array is " << endl;
    for (auto &t : array)
        cout << t << " ";
    cout << endl
         << "---------------------------------------------------" << endl;


    // sort元素
    HeapSort(array);
    cout << "After sort, the array is " << endl;
    for (auto &t : array)
        cout << t << " ";
    return 0;
}

可以看到从大到小进行了排序，如果用大顶堆，就是从小到大排序。

3.2 优先队列

优先级队列虽然也叫队列，但是和普通的队列还是有差别的。普通队列出队顺序只取决于入队顺序，而优先级队列的出队顺序总是按照元素自身的优先级。可以理解为，优先级队列是一个排序后的队列。

堆和优先级队列非常相似，一个堆就可以看作一个优先级队列。往优先级队列中插入一个元素，就相当于往堆中插入一个元素；从优先级队列中取出优先级最高的元素，就相当于取出堆顶元素（大顶堆--最大值；小顶堆--最小值）。不过优先级我们还可以自己额外定义。C++有priority_queue来实现，具体可以看c++优先队列(priority_queue)用法详解。

所以优先队列有两个操作，分别是pop弹出和push加入，pop即弹出根节点，push即把新的元素加入优先队列，两种操作过后要保证剩余的元素构成的还是一个堆。直接使用前面所说的pop和push操作即可。

4. 典型例题

347. 前 K 个高频元素

前K个元素，先用哈希表记录元素的频率，然后可以使用小根堆，如果队列元素超过K可以弹出根节点（最小的元素），遍历完以后，队列里剩下的就是前K大的元素。

cpp 复制代码 
class Solution {
public:
    static bool cmp(pair<int, int>& a, pair<int, int>& b)
    {
        return a.second > b.second;
    }
    vector<int> topKFrequent(vector<int>& nums, int k) {
        vector<int> ans;
        unordered_map<int, int> mp;
        for (auto& t: nums)
            mp[t]++;
        priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, decltype(&cmp)> que(cmp);
        for (auto it = mp.begin(); it != mp.end(); ++it)
        {
            que.push(*it);
            if (que.size() > k)
                que.pop();
        }
        while (!que.empty())
        {
            ans.push_back(que.top().first);
            que.pop();
        }
        return ans;
    }
};

关于priority_queue的比较函数cmp也可以使用仿函数：

cpp 复制代码 
class Solution {
public:
    class cmp {
    public:
        bool operator() (const pair<int, int> &lhs, const pair<int, int> &rhs) {
            return lhs.second > rhs.second;
        }
    };
    vector<int> topKFrequent(vector<int>& nums, int k) {
        vector<int> ans;
        unordered_map<int, int> mp;
        for (auto& t: nums)
            mp[t]++;
        priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, cmp> que;
        for (auto it = mp.begin(); it != mp.end(); ++it)
        {
            que.push(*it);
            if (que.size() > k)
                que.pop();
        }
        while (!que.empty())
        {
            ans.push_back(que.top().first);
            que.pop();
        }
        return ans;
    }
};

内置类型比如int的话cmp可以直接使用greater<int>（小根堆）和less<int>（大根堆），如果比较自定义的Node类型，可以在Node里重载<：

cpp 复制代码 
#include <queue>
#include <iostream>
using namespace std;
struct Node
{
    int x, y;
    bool operator<(const Node &rhs) const
    {
        return this->x > rhs.x; // 用x比较，这里是>，是小根堆
    }
};
int main()
{
    priority_queue<Node> que;
    que.push(Node{1, 2});
    que.push(Node{2, 1});
    que.push(Node{4, 2});
    while (!que.empty())
    {
        cout << que.top().x << " " << que.top().y << endl;
        que.pop();
    }
}

215. 数组中的第K个最大元素

和上题类似，我们使用一个小顶堆，遍历完整个数组，最后剩下的根节点就是第K大元素了。

cpp 复制代码 
class Solution {
public:

    int findKthLargest(vector<int>& nums, int k) {
        priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> que;
        for (auto& t:nums)
        {
            que.push(t);
            if (que.size() > k)
            {
                que.pop();
            }
        }
        return que.top();
    }
};

295. 数据流的中位数

维护一个大根堆和一个小根堆，大根堆queMin记录小于等于中位数的那些数，小根堆queMax记录大于中位数的那些数。

大根堆queMin: 大<-小

小根堆queMax：小->大

findMedian：小根堆的元素个数比大根堆的元素的个数大1或两者相等，如果是奇数直接取小根堆的根节点元素，如果是偶数取两个堆的根节点的平均值（注意返回是double，所以除以2不行，要除以2.0）

addNum：由于小根堆的元素个数比大根堆元素个数大1或两者相等，所以我们优先处理小根堆：

  • 如果queMax的维度和queMin的维度是一样的，那么先往queMax里push num，然后queMin添加queMax的堆顶元素，queMax弹出元素。
  • 如果queMax的维度比queMin的维度小（这时候是小1），那么先往queMin里push num，然后queMax添加queMin的堆顶元素，queMin弹出元素。
cpp 复制代码 
class MedianFinder {
public:
    MedianFinder() {

    }
    
    void addNum(int num) {
        if (queMin.size() == queMax.size())
        {
            queMax.push(num);
            queMin.push(queMax.top());
            queMax.pop();
        }
        else
        {
            queMin.push(num);
            queMax.push(queMin.top());
            queMin.pop();
        }
    }
    
    double findMedian() {
        if (queMin.size() > queMax.size())
            return queMin.top();
        return (queMin.top() + queMax.top()) / 2.0;
    }
private:
    priority_queue<int, vector<int>, less<int>> queMin;
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> queMax;

};

/**
 * Your MedianFinder object will be instantiated and called as such:
 * MedianFinder* obj = new MedianFinder();
 * obj->addNum(num);
 * double param_2 = obj->findMedian();
 */
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