LeetCode 123：买卖股票的最佳时机 III
问题核心与思路拆解
需计算最多两次交易 的最大利润，核心是通过 四个状态 建模交易过程：
buy1：仅完成第一次买入（未卖出）；sell1：完成第一次买卖（一笔交易）；buy2：完成一笔交易后，第二次买入（未卖出）；sell2：完成两次买卖（两笔交易）。
通过状态转移方程 逐天更新这四个状态，最终 sell2 即为最大利润（覆盖"0、1、2次交易"的最优解）。
算法步骤详解
1. 状态定义
| 状态 | 含义 | 初始值（第0天） |
|---|---|---|
buy1 |
第一次买入后未卖出 | -prices[0]（买入第0天股票） |
sell1 |
第一次卖出（完成一笔交易） | 0（第0天买入并卖出，利润0） |
buy2 |
完成一笔交易后，第二次买入未卖出 | -prices[0]（第0天完成一次交易后再买入） |
sell2 |
完成两次卖出（完成两笔交易） | 0（第0天完成两次交易，利润0） |
2. 状态转移方程
遍历每天价格 price，更新四个状态（依赖前一天的旧状态）：
buy1：可保持现状，或在"未交易"状态下买入当前股票：
buy1=max(旧buy1, −price) \text{buy1} = \max(\text{旧buy1},\ -price) buy1=max(旧buy1, −price)sell1：可保持现状，或在"第一次买入"状态下卖出当前股票：
sell1=max(旧sell1, 旧buy1+price) \text{sell1} = \max(\text{旧sell1},\ \text{旧buy1} + price) sell1=max(旧sell1, 旧buy1+price)buy2：可保持现状，或在"第一次卖出"状态下买入当前股票：
buy2=max(旧buy2, 旧sell1−price) \text{buy2} = \max(\text{旧buy2},\ \text{旧sell1} - price) buy2=max(旧buy2, 旧sell1−price)sell2：可保持现状，或在"第二次买入"状态下卖出当前股票：
sell2=max(旧sell2, 旧buy2+price) \text{sell2} = \max(\text{旧sell2},\ \text{旧buy2} + price) sell2=max(旧sell2, 旧buy2+price)
3. 边界与遍历
- 特殊情况 ：若数组长度
< 2，直接返回0（无法交易）。 - 遍历过程 ：从第1天开始，逐天更新四个状态，确保每次转移使用前一天的旧值（避免状态污染）。
完整代码（Java）
java
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
// 特殊情况：无法交易
if (prices == null || prices.length < 2) {
return 0;
}
int n = prices.length;
// 初始化四个状态（第0天）
int buy1 = -prices[0]; // 第一次买入
int sell1 = 0; // 第一次卖出（买入后立即卖出，利润0）
int buy2 = -prices[0]; // 第二次买入（第一次卖出后立即买入）
int sell2 = 0; // 第二次卖出（两次交易都在第0天，利润0）
// 逐天更新状态（从第1天开始）
for (int i = 1; i < n; i++) {
int price = prices[i];
// 计算新状态（基于前一天的旧状态）
int newBuy1 = Math.max(buy1, -price); // 保持或新买入（未交易→买入）
int newSell1 = Math.max(sell1, buy1 + price); // 保持或卖出（第一次买入→卖出）
int newBuy2 = Math.max(buy2, sell1 - price); // 保持或新买入（第一次卖出→买入）
int newSell2 = Math.max(sell2, buy2 + price); // 保持或卖出（第二次买入→卖出）
// 更新状态（覆盖旧值，供下一轮使用）
buy1 = newBuy1;
sell1 = newSell1;
buy2 = newBuy2;
sell2 = newSell2;
}
// sell2 覆盖了0、1、2次交易的最优解
return sell2;
}
}代码逻辑验证（示例1：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]）
天数 i |
价格 price |
buy1 变化 |
sell1 变化 |
buy2 变化 |
sell2 变化 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 3 | -3 |
0 |
-3 |
0 |
| 1 | 3 | max(-3, -3)=-3 |
max(0, -3+3=0)=0 |
max(-3, 0-3=-3)=-3 |
max(0, -3+3=0)=0 |
| 2 | 5 | max(-3, -5)=-3 |
max(0, -3+5=2)=2 |
max(-3, 2-5=-3)=-3 |
max(0, -3+5=2)=2 |
| 3 | 0 | max(-3, -0=0)=0 |
max(2, 0+0=0)=2 |
max(-3, 2-0=2)=2 |
max(2, 2+0=2)=2 |
| 4 | 0 | max(0, -0=0)=0 |
max(2, 0+0=0)=2 |
max(2, 2-0=2)=2 |
max(2, 2+0=2)=2 |
| 5 | 3 | max(0, -3)=0 |
max(2, 0+3=3)=3 |
max(2, 3-3=0)=2 |
max(2, 2+3=5)=5 |
| 6 | 1 | max(0, -1)=0 |
max(3, 0+1=1)=3 |
max(2, 3-1=2)=2 |
max(5, 2+1=3)=5 |
| 7 | 4 | max(0, -4)=0 |
max(3, 0+4=4)=4 |
max(2, 4-4=0)=2 |
max(5, 2+4=6)=6 |
最终 sell2=6，与示例1结果一致。
复杂度分析
- 时间复杂度 ：
O(n)（遍历数组一次，每次更新4个状态，O(1)操作）。 - 空间复杂度 ：
O(1)（仅用4个变量存储状态，无额外空间）。
该方法通过 状态压缩+动态规划 ，精准建模"两次交易"的所有可能状态，确保每一步转移高效且无冗余。核心是对"买入/卖出"操作的状态拆分，以及利用滚动更新避免空间浪费，是交易类动态规划问题的经典解法。