DAY39： 动态规划不同路径问题62

Leetcode: 62 不同路径

机器人从(0 , 0) 位置出发，到(m - 1, n - 1)终点。

基本思路

1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dpij ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dpij条不同的路径。

2、确定递推公式

想要求dpij，只能有两个方向来推导出来，即dpi - 1j 和 dpij - 1。所以dpij = dpi - 1j + dpij - 1。

3、dp数组的初始化

dpi0一定都是1，因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，那么dp0j也同理。

时间复杂度：O(m × n)

空间复杂度：O(m × n)

想不出来的时候，可以想想最后的步骤是由上一步怎么导出的。

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n,0));//初始化二维向量
        for(int i = 0; i < m; i++){
            dp[i][0] = 1;//初始化起始
        } 
        for(int i = 0; i < n; i++){
            dp[0][i] = 1;
        }
        for(int i = 1; i < m; i++){
            for(int j = 1; j < n; j++){
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]+ dp[i][j - 1];//递推公式
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];

    }
};

当然也可以使用数论的方法。最后获得组合的方法如下。

但是这道题目要防止两个int相乘出现溢出的情况，所以要对两数相乘做特殊处理。需要在计算分子的时候，不断除以分母。

代码如下

代码随想录

时间复杂度：O(m)

空间复杂度：O(1)

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        long long numerator = 1; // 分子
        int denominator = m - 1; // 分母
        int count = m - 1;
        int t = m + n - 2;
        while (count--) {
            numerator *= (t--);
            while (denominator != 0 && numerator % denominator == 0) {
                numerator /= denominator;
                denominator--;
            }
        }
        return numerator;
    }
};

Leetcode: 63 不同路径 II

这道题与上道题不一样的点，在于现在的的路径出现了障碍物。

1、dp数组的初始化

dpi0一定都是1，但是如果遇到障碍物，那么后面的所有数组都是0，是无法达到的道路。

2、确定递推公式

想要求dpij，只能有两个方向来推导出来，即dpi - 1j 和 dpij - 1。所以dpij = dpi - 1j + dpij - 1。如果出现障碍物，就跳过元素，这样这个元素还是0，那么即使相加相当于只有一个方向的信息。因此我们的递推公式还是dpij = dpi - 1j + dpij - 1。遇到障碍物之后都是0。

时间复杂度：O(n × m)

空间复杂度：O(n × m)

class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
        int m = obstacleGrid.size();
        int n = obstacleGrid[0].size();//注意维度的选择
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n,0));
        if (obstacleGrid[m - 1][n - 1] == 1 || obstacleGrid[0][0] == 1) //如果在起点或终点出现了障碍，直接返回0
            return 0;
        for(int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++) dp[i][0] = 1;
        for(int i = 0; i < n && obstacleGrid[0][i] == 0; i++) dp[0][i] = 1;
        for(int i = 1; i < m; i++){
            for(int j = 1; j < n; j++){
                if(obstacleGrid[i][j] == 1) continue;
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];

    }
};