Leetcode: 62 不同路径
机器人从(0 , 0) 位置出发，到(m - 1, n - 1)终点。
基本思路
1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径。
2、确定递推公式
想要求dp[i][j]，只能有两个方向来推导出来，即dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]。所以dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]。
3、dp数组的初始化
dp[i][0]一定都是1，因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，那么dp[0][j]也同理。
时间复杂度：O(m × n)
空间复杂度：O(m × n)
想不出来的时候，可以想想最后的步骤是由上一步怎么导出的。
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n,0));//初始化二维向量
for(int i = 0; i < m; i++){
dp[i][0] = 1;//初始化起始
}
for(int i = 0; i < n; i++){
dp[0][i] = 1;
}
for(int i = 1; i < m; i++){
for(int j = 1; j < n; j++){
dp[i][j] = dp[i - 1][j]+ dp[i][j - 1];//递推公式
}
}
return dp[m - 1][n - 1];
}
};
当然也可以使用数论的方法。最后获得组合的方法如下。
但是这道题目要防止两个int相乘出现溢出的情况，所以要对两数相乘做特殊处理。需要在计算分子的时候，不断除以分母。
代码如下
时间复杂度：O(m)
空间复杂度：O(1)
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
long long numerator = 1; // 分子
int denominator = m - 1; // 分母
int count = m - 1;
int t = m + n - 2;
while (count--) {
numerator *= (t--);
while (denominator != 0 && numerator % denominator == 0) {
numerator /= denominator;
denominator--;
}
}
return numerator;
}
};
Leetcode: 63 不同路径 II
这道题与上道题不一样的点，在于现在的的路径出现了障碍物。
1、dp数组的初始化
dp[i][0]一定都是1，但是如果遇到障碍物，那么后面的所有数组都是0，是无法达到的道路。
2、确定递推公式
想要求dp[i][j]，只能有两个方向来推导出来，即dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]。所以dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]。如果出现障碍物，就跳过元素，这样这个元素还是0，那么即使相加相当于只有一个方向的信息。因此我们的递推公式还是dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]。遇到障碍物之后都是0。
时间复杂度：O(n × m)
空间复杂度：O(n × m)
class Solution {
public:
int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
int m = obstacleGrid.size();
int n = obstacleGrid[0].size();//注意维度的选择
vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n,0));
if (obstacleGrid[m - 1][n - 1] == 1 || obstacleGrid[0][0] == 1) //如果在起点或终点出现了障碍，直接返回0
return 0;
for(int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++) dp[i][0] = 1;
for(int i = 0; i < n && obstacleGrid[0][i] == 0; i++) dp[0][i] = 1;
for(int i = 1; i < m; i++){
for(int j = 1; j < n; j++){
if(obstacleGrid[i][j] == 1) continue;
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
return dp[m - 1][n - 1];
}
};