我们已经学过好久好久的动态规划了，动态规划_Peter Pan was right的博客-CSDN博客
那么，我用一张图片来概括一下背包问题。
大家有可能比较疑惑，优化决策怎么优化呢？答案是，滚动数组，一个神秘而简单的东西。
01背包
题目：小偷来你家，他带的包只能装c斤的财务。你家有n种财务，分别重w1、w2......wn斤，价值分别为v1、v2......，请输出能拿走的最大总价值？
大家思考一下状态定义和状态转移方程。
额......
状态定义
fij：用前i个物品，每个物品只能选或不选，满足重量和小于等于j的所有选法中，价值最高的那个方案。最终答案：fnc
状态转移方程
首先，我们分两种情况讨论：1.选i 2.不选i
1。 此时我们重量和会变小wi，但是价值会增加vi，fij=fi-1j-w\[i]+vi
2。 此时物品数减1，fij=fi-1j
最后，再取最大值，得到状态转移方程：fij=max(fi-1j,fi-1j-w\[i]+vi)
代码①
cpp
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i]>>v[i];
for(int i=1;i<=n;++i){
for(int j=1;j<=c;++j){
if(w[i]>j) f[i][j]=f[i-1][j];
else f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i]);
}
}
cout<<f[n][c]<<endl;有点费空间，要开滚动数组
代码②
滚动数组，给大家看个图
我们发现，dpij这一格，只需要i-1这一行，i-2、i-3......都不需要。题目如果并没有要求中间的状态（比如输出背包的方案），我们就可以将其省略来节省空间的使用。所以我们可以只用一维数组dpj来记录数据dpij的状态，在更新的过程中不断用新的数据dpj (dpij) 覆盖掉旧的数据dpj（dpi-1j）。大家听懂了吗？？？
代码呢？
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXC=2009;
int n,c,w,v,f[MAXC];
int main(){
cin>>c>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>w>>v;
for(int j=c;j>=w;j--)
f[j]=max(f[j],f[j-w]+v);
}
cout<<f[c]<<endl;
return 0;
}大家可能会疑惑，为什么第二层循环要倒着推啊，我给出一个解释。我们每次计算dpj (即dpij) 的时候都会需要dpj-w\[i] (即dpi-1j-w\[i])的值。所以如果我们正序计算，那么dpj-w\[i]就已经更新了 （即用过之前的背包了），与每个背包只能用1次不符。那么，这不就是完全背包要的吗？
完全背包
题目：小偷来你家，他带的包只能装c斤的财务。你家有n种财务，每种数量无限多，分别重w1、w2......wn斤，价值分别为v1、v2......，请输出能拿走的最大总价值？
题解请看01背包，这里只给出代码
cpp
cin>>c>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>w>>v;
for(int j=w;j<=c;j++)
f[j]=max(f[j],f[j-w]+v);
}
cout<<f[c]<<endl;分组背包
分组01与普通01的区别就是，分组01有两组策略：1.选择本组的某一件 2.一件不选
所以说，分组背包编码很麻烦
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll G=19;
const ll N=39;
const ll MAXV=209;
ll c,n,g,f[MAXV];
vector<ll> w[G],v[G];
int main(){
cin>>c>>n>>g;
for(ll i=1;i<=n;i++){
ll ww,vv,p;
cin>>ww>>vv>>p;
w[p].push_back(ww);
v[p].push_back(vv);
}
for(ll i=0;i<=g;i++){//枚举组号
for(ll j=c;j>=0;j--){//枚举载重
for(ll k=0;k<w[i].size();k++){//枚举物品
if(j>=w[i][k]) f[j]=max(f[j],f[j-w[i][k]]+v[i][k]);
}
}
}
cout<<f[c]<<endl;
return 0;
}多重背包
多重背包怎么办呢，这里，我们要采用二进制拆分。
就是......这样
cpp
void bb01(int w,int v){
for(int j=c;j>=w;j--)
f[j]=max(f[j],f[j-w]+v);
}
int main(){
cin>>n>>c;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>w>>v>>s;
for(int k=1;k<=s;s-=k;k*=2) bb01(k*w,k*v);
if(s) bb01(s*w,s*v);
}
cout<<f[c]<<endl;
return 0;
}简单吧，其实为什么这里我都没有进行仔细的讲解，是因为......不会，再多思考思考01背包和图片。
混合背包
大家试着写写。大家有兴趣的话可以去往上搜搜"背包九讲"。
希望这些对大家有用，三连必回