【图论经典题目讲解】洛谷 P5304 旅行者

P5304 旅行者

D e s c r i p t i o n \mathrm{Description} Description

给定一个 n n n 个点， m m m 条边的有向图，求解 k k k 个点两两间最短路长度的最小值。

S o l u t i o n \mathrm{Solution} Solution

对于 k k k 个点，可以考虑二进制分组优化，即对于每一位为 1 1 1 的点放入 1 1 1 组（设为 A A A 组），为 0 0 0 的点放入 1 1 1 组（设为 B B B 组）。

则如果建立一个虚拟源点和一个虚拟汇点，并由虚拟源点向 A A A 组中的每一个点连一条长度为 0 0 0 的边，且由 B B B 组中的每一个点向虚拟汇点连一条长度为 0 0 0 的边，那么虚拟源点到虚拟汇点的最短路即为 A A A 组中任意一个点到 B B B 组中任意一个点的最短路长度的最小值。

正确性证明：对于 k k k 个点中的任意 2 2 2 个点，由于编号是不同的，那么必定有一位二进制是不同的，所以总有一次一个点在 A A A 组，一个点在 B B B 组，这 2 2 2 个点之间的最短路也一定会给答案贡献 1 1 1 次。

C o d e Code Code

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;
typedef long long LL;

const int SIZE = 4e7 + 10, SIZE2 = 1e5 + 10;

int N, M, K;
int h[SIZE2], hs[SIZE2], e[SIZE], ne[SIZE], w[SIZE], idx;
int A[SIZE2], Dist[SIZE2], Vis[SIZE2];

void add(int h[], int a, int b, int c)
{
	e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx ++;
}

int Dijkstra(int S, int T)
{
	memset(Dist, 0x3f, sizeof Dist);
	memset(Vis, 0, sizeof Vis);
	priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> Heap;

	Heap.push({0, S}), Dist[S] = 0;
	while (Heap.size())
	{
		auto Tmp = Heap.top();
		Heap.pop();

		int u = Tmp.second;
		if (Vis[u]) continue;
		Vis[u] = 1;

		for (int i = hs[u]; ~i; i = ne[i])
		{
			int j = e[i];
			if (Dist[j] > Dist[u] + w[i])
			{
				Dist[j] = Dist[u] + w[i];
				Heap.push({Dist[j], j});
			}
		}
	}

	return Dist[T];
}

void solve()
{
	memset(h, -1, sizeof h);
	memset(hs, -1, sizeof hs);

	cin >> N >> M >> K;

	int u, v, c;
	while (M --)
	{
		cin >> u >> v >> c;
		add(h, u, v, c);
	}

	for (int i = 1; i <= K; i ++)
		cin >> A[i];

	memcpy(hs, h, sizeof h);

	int S = 0, T = N + 1, Result = 1e18;
	for (int i = 0; i < 17; i ++)
	{
		for (int j = 1; j <= K; j ++)
			if (A[j] >> i & 1)
				add(hs, S, A[j], 0);
			else
				add(hs, A[j], T, 0);
		Result = min(Result, Dijkstra(S, T));
		memcpy(hs, h, sizeof h);
		for (int j = 1; j <= K; j ++)
			if (A[j] >> i & 1)
				add(hs, A[j], T, 0);
			else
				add(hs, S, A[j], 0);
		Result = min(Result, Dijkstra(S, T));
		memcpy(hs, h, sizeof h);
	}

	cout << Result << endl;
}

signed main()
{
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	ios::sync_with_stdio(0);

	int Data;

	cin >> Data;

	while (Data --)
		solve();

	return 0;
}