题目链接：Luogu P3547 [POI2013] CEN-Price List
题目描述：
给定一张边权均为
a的无向图，现在将所有两点之间最短路为2a的点之间增加一条长度为b的无向边，问到给定点s的单元最短路。
题解：
对于一个点
u到s的最短路只有三种情况：
- 经过的边边权均为
a；- 经过的边边权均为
b；- 经过的边边权
a与b均有。我们只需要求出上面三种情况的最短路取最小值即可。
对于情况一只需要进行一次
BFS即可求出。对于情况二我们同样可以通过一次
BFS求出：
- 我们首先建立两张与原图一样的图，我们将两张图的边权全部记作
1这样只需在最后的时候乘以a或者b即可，将这两张图记为g和newG；- 对于本轮
BFS的结点u，标记其在g中的相邻结点v已访问；- 通过
g遍历与u相邻的结点v，通过newG遍历与v相邻的结点w；若w已经被标记，则说明u与w之间的最短路为1，此时两者之间不存在边长为b的边，不能更新dis；若w并没有被标记，说明u与w之间的最短路距离为2，此时存在边长为b的边，所以进行更新dis[w] = dis[u] + 1，并将w入队，删除v到w的边；- 通过
g遍历与u相邻的结点v，标记其为未访问。上述的过程需要删除
v到w的边，可以通过前向星实现（建立双向链表）。该算法与三元环计数类似，时间复杂度为 O ( ( n + m ) m ) O((n + m) \sqrt m) O((n+m)m )。能够删除的原因是：根据BFS可以知道先遍历的点的dis一定小于后遍历的点的距离，如果之前通过v到w的这条边更新过，后续通过这条边的距离一定会更大，因此不需要重复遍历。对于情况三我们可以发现最多只会经过一条边权为
a的边。这是因为，如果我们经过了边权为b的边，那么说明b<2a否则不会更优，那么既然这样，每有两条边权为a的边，则可以进行走一次边权为b的边进行优化，最会只可能剩下一条或者零条边权为a的边，如果将原图的边权改为1求得一次的单元最短路的结果记为dis[u]（u与s的最短路），则情况三为： ⌊ d i s [ u ] 2 ⌋ ∗ b + d i s [ u ] m o d 2 ∗ a \lfloor\frac {dis[u]} 2\rfloor * b + dis[u]\ mod\ 2 * a ⌊2dis[u]⌋∗b+dis[u] mod 2∗a。
代码：LuoguP3547