线性代数:向量、张量、矩阵和标量

线性代数:向量、张量、矩阵和标量

背景

在线性代数中,向量、张量、矩阵和标量都属于基础概念,特别是最近AI的爆火,向量和张量的概念也越来越普及,本文将介绍下这些基本概念。

1. 标量(Scalar)

1.1 定义和表示

标量是数学中的一个基本概念,它表示一个单独的实数,没有方向或位置。在数学表示中,我们通常用小写字母表示标量,例如 a 或 x。

1.2 例子

  • 温度(32℃)
  • 质量(62kg)
  • 速度(102km/h)

标量是我们日常生活中常见的量,它们具有大小但没有方向。

在python代码中表示

python 复制代码
	x = 1
	# 或者可以表示为0阶张量
    x = np.array(1)
    print(x.ndim)

2. 向量(Vector)

2.1 定义和表示

向量是有序的一维数组,其中包含多个标量元素。每个元素都有一个索引,表示其在向量中的位置。在数学表示中,我们通常用小写粗体字母表示向量,如 v

2.2 例子

  • 位移(向东200米)
  • 力(向左10牛米)

向量不仅有大小,还有方向,因此它可以表示在空间中的运动或力的作用方向。

2.3 代码和图示

一个二维向量可以表示为
v = [ 1 2 3 ] v = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} v=[123]

在python代码中表示

python 复制代码
	v = np.array([1, 2, 3])
    print(v.ndim)  # = 1

3. 矩阵(Matrix)

3.1 定义和表示

矩阵是一个二维数组,其中包含多个标量元素,这些元素按行和列排列。在数学表示中,我们通常用大写字母表示矩阵,如 A。

3.2 例子

  • 图像的像素值
  • 线性变换

公式和图示

一个 m x n 的矩阵 A 可以表示为:
A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} A= a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn

在python代码中例子

python 复制代码
	m = np.array([[1, 2], [3, 4]])
    print(m.ndim)  # = 2

4. 张量(Tensor)

4.1 定义和表示

在线性代数里面可以简单的将张量理解为一个多维数组,可以包含标量、向量和矩阵。在数学表示中,我们通常用大写粗体字母表示张量,如 T

4.2 例子

  • 神经网络中的输入
  • 多模态数据的表示,如图片语音视频等

公式和图示

在深度学习中,一个三维张量 T 可以表示为:

T = [ A B C D E F G H I ] \mathbf{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} & \mathbf{C} \\ \mathbf{D} & \mathbf{E} & \mathbf{F} \\ \mathbf{G} & \mathbf{H} & \mathbf{I} \end{bmatrix} T= ADGBEHCFI

这里A、B、C、D等可以是标量、向量或矩阵。

之间的关系

  • 标量是零阶张量,向量是一阶张量,矩阵是二阶张量。
  • 张量的阶数表示它包含的维度数量,不止是3阶张量,张量可以是无数阶。
  • 从这种角度来看,万物皆张量
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