CDQ分治详解，一维、二维、三维偏序

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零、偏序关系

设R是集合A上的一个关系，如果R是自反的、反对称的、传递的，则称R为一个偏序关系(或称部分序关系、半序关系)。

通常，将偏序关系R写做≤，读做"小于或等于"。

对于一维、二维、三维我们有着不同的处理手段。

一、一维偏序

给你一个长度为n的序列，求出每个元素在序列中比其小的元素数目。

这是最为简单的偏序问题，处理方法也很简单：将原序列升序排序，当然如果有重复元素，我们要适当进行去重处理。

二、二维偏序

有n个元素，第i个元素有ai,bi两个属性,求出每个下标i，满足j != i，aj ≤ ai且bj ≤ bi的j的数目

基本思路：按照第一维排序，然后计算前一半对于后一半的影响。

基于这样的思路，我们有两种做法：

F1归并排序

和归并排序计算逆序对很像

先按照ai进行排序，然后对bi进行归并排序
归并排序时，序列被划分为[l, mid]和[mid + 1, r]两个序列
虽然按照bi进行归并排序会导致ai的顺序混乱，但是两个序列仍然满足左边序列的ai不大于右边序列的ai
当我们双指针合并两个序列时，当要存放右边序列的元素时，可以根据左边指针和左边界的相对位置计算其贡献
时间复杂度O(nlogn)

F2树状数组

先按照ai进行排序，然后开树状数组维护当前遍历位置之前值小于等于bi的元素数目
遍历按照第一维排序后的序列，ans[i] = query(b[i])
时间复杂度O(nlogn)

代码十分简单，这里不再给出

三、三维偏序(CDQ)

有n个元素，第 i个元素有ai，bi，ci三个属性，设 f(i) 表示满足 aj ≤ ai且 bj ≤ bi 且 cj ≤ ci且 j != i 的 j 的数量。

对于d ∈ [0, n) ，求 f(i) = d 的i数量。

虽然问题变成了三维偏序，但是基本思路还是按照某个维度排序，然后计算前面对后面的影响，通过这样的策略，达到将问题降维的效果。

3.1CDQ分治

CDQ分治是以曾经的IOI选手陈丹琦命名的一种离线的分治算法，主要用于解决偏序问题。

3.2CDQ分治解决三维偏序的流程

同样有归并排序和树状数组两种做法，我们这里给出树状数组做法。

先按一维属性排序和去重
1.假设三维分别是x，y，z，先按x排序。
2.然后去掉重复元素，记录每个元素出现的次数cnt
CDQ分治：类似归并排序的思想，先按第一维属性划分为前一半和后一半，回归时计算前一半对后一半的影响

分治后每次将前一半、后一半分别按y排序。虽然现在x的顺序被打乱了，但是前一半的x还是都小于后一半的，所以只计算前一半对后一半的偏序关系，是不会受到x影响的。
用双指针 i,j来维护前一半和后一半，每次将j后移一位时，若y[i] <= y[j]，则不断后移i，并不断将z[i]加入树状数组。然后再查询树状数组中有多少数<=z[j]，即<= e[j]的偏序数量。
最后要清空树状数组。
时间复杂度O(nlog^2n)

四、OJ练习

4.1三维偏序模板题

4.1.1原题链接

P3810 【模板】三维偏序（陌上花开） - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

4.1.2AC代码

c++ 复制代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 100005, K = 200005;
int n, k, tot = 0;
int ans[N], tr[K];

struct node
{
    int a, b, c, s = 1, res;
    bool operator==(const node &x) const
    {
        return a == x.a && b == x.b && c == x.c;
    }
} nodes[N];

bool cmpa(const node &x, const node &y)
{
    if (x.a != y.a)
        return x.a < y.a;
    if (x.b != y.b)
        return x.b < y.b;
    return x.c < y.c;
}
bool cmpb(const node &x, const node &y)
{
    if (x.b != y.b)
        return x.b < y.b;
    return x.c < y.c;
}
void modify(int x, int v)
{
    for (; x <= k; x += (x & -x))
        tr[x] += v;
}
int query(int x)
{
    int res = 0;
    for (; x > 0; x &= (x - 1))
        res += tr[x];
    return res;
}
void CDQ(int l, int r)
{
    if (l == r)
        return;
    int mid = (l + r) >> 1;
    CDQ(l, mid), CDQ(mid + 1, r);
    sort(nodes + l, nodes + mid + 1, cmpb), sort(nodes + mid + 1, nodes + r + 1, cmpb);
    int i = l, j = mid + 1;
    for (; j <= r; j++)
    {
        for (; i <= mid && nodes[i].b <= nodes[j].b; i++)
            modify(nodes[i].c, nodes[i].s);
        nodes[j].res += query(nodes[j].c);
    }
    for (j = l; j < i; j++)
        modify(nodes[j].c, -nodes[j].s);
}
int main()
{
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> n >> k;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> nodes[i].a >> nodes[i].b >> nodes[i].c;
    sort(nodes + 1, nodes + n + 1, cmpa);

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        if (nodes[i] == nodes[tot])
            nodes[tot].s++;
        else
            nodes[++tot] = nodes[i];
    }
    CDQ(1, tot);
    for (int i = 1; i <= tot; i++)
        ans[nodes[i].s + nodes[i].res - 1] += nodes[i].s;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        cout << ans[i] << '\n';
    return 0;
}

4.2老C的任务

4.2.1原题链接

[P3755 CQOI2017] 老C的任务 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

4.2.2解题思路

对于每个询问，我们要计算出矩形区域内的基站数目，数据范围允许的情况下自然可以用二维前缀和进行快速计算

但是我们发现二位前缀和维护的无非是两个维度都不超过自己的点的数目，这样我们可以用二维偏序解法计算出每个点其左下角的点的数目，这样相当于变相计算出了二维前缀和

那么对于x1，y1，x2，y2的查询，显然有ans = pre[x2][y2] - pre[x2][y1 - 1] - pre[x1 - 1][y2] + pre[x1 - 1][y1 - 1]

那么是否可以转化为三维偏序问题求解呢？

对于查询的点，我们都给其增加一个维度，然后加入序列，这样CDQ求出的查询点的二位前缀和，我们给要减去前缀和的点一个-1，加上的给一个1，方便后序计算答案

4.2.3AC代码

c++ 复制代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 5e5 + 10;
struct node
{
    int a, b, c, s, id, sign;
    long long res;
    bool operator==(const node &x) const
    {
        return a == x.a && b == x.b && c == x.c;
    }
} nodes[N];
int n, m;
long long ans[N], tr = 0;
bool cmpa(const node &x, const node &y)
{
    if (x.a != y.a)
        return x.a < y.a;
    if (x.b != y.b)
        return x.b < y.b;
    return x.c < y.c;
}
bool cmpb(const node &x, const node &y)
{
    if (x.b != y.b)
        return x.b < y.b;
    return x.c < y.c;
}
void CDQ(int l, int r)
{
    if (l == r)
        return;
    int mid = (l + r) >> 1;
    CDQ(l, mid), CDQ(mid + 1, r);
    sort(nodes + l, nodes + mid + 1, cmpb), sort(nodes + mid + 1, nodes + r + 1, cmpb);
    int i = l, j = mid + 1;
    for (; j <= r; j++)
    {
        for (; i <= mid && nodes[i].b <= nodes[j].b; i++)
            tr += !nodes[i].c * nodes[i].s;
        if (nodes[j].c)
            nodes[j].res += tr;
    }
    for (j = l; j < i; j++)
        tr -= !nodes[j].c * nodes[j].s;
}
int main()
{
    // freopen("in.txt", "r", stdin);
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> nodes[i].a >> nodes[i].b >> nodes[i].s;

    for (int i = 1, a1, b1, a2, b2; i <= m; i++)
    {
        cin >> a1 >> b1 >> a2 >> b2;
        nodes[++n] = {a2, b2, 1, 0, i, 1};
        nodes[++n] = {a1 - 1, b1 - 1, 1, 0, i, 1};
        nodes[++n] = {a2, b1 - 1, 1, 0, i, -1};
        nodes[++n] = {a1 - 1, b2, 1, 0, i, -1};
    }

    sort(nodes + 1, nodes + 1 + n, cmpa);

    CDQ(1, n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (nodes[i].c)
            ans[nodes[i].id] += nodes[i].res * nodes[i].sign;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        cout << ans[i] << '\n';
    return 0;
}

4.3动态逆序对

4.3.1原题链接

[P3157 CQOI2011] 动态逆序对 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

4.3.2解题思路

该问题和普通逆序对相比只多了一个维度------时间

那么我们将原序列元素的删除时间设置为0，删除元素删除时间从1到m依次增加，这样一来我们要求的点对即为：

ti < tj, pi < pj, vi > vj或者ti < tj, pi > pj, vi < vj

这样CDQ中我们要跑两次双指针，清空两次树状数组

对于删除元素修改树状数组的贡献我们设置为-1，原序列为1

这样就巧妙的解决了问题

4.3.3AC代码

c++ 复制代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1e5 + 10, M = 5e4 + 10;
struct node
{
    int t, p, v, k;
} nodes[N + M];
int ans[M], tr[N];
int mp[N], n, m, tot = 0;
int query(int x)
{
    long long res = 0;
    for (; x > 0; x &= (x - 1))
        res += tr[x];
    return res;
}
void modify(int x, int v)
{
    for (; x <= n; x += (x & -x))
        tr[x] += v;
}
bool cmp(const node &x, const node &y)
{
    return x.p < y.p;
}
void CDQ(int l, int r)
{
    if (l == r)
        return;
    int mid = (l + r) >> 1;
    CDQ(l, mid), CDQ(mid + 1, r);

    sort(nodes + l, nodes + mid + 1, cmp), sort(nodes + mid + 1, nodes + 1 + r, cmp);
    int i = l, j = mid + 1;
    for (; j <= r; ++j)
    {
        for (; i <= mid && nodes[i].p < nodes[j].p; ++i)
            modify(nodes[i].v, nodes[i].k);
        ans[nodes[j].t] += (query(n) - query(nodes[j].v)) * nodes[j].k;
    }
    for (j = l; j < i; j++)
        modify(nodes[j].v, -nodes[j].k);
    i = mid, j = r;
    for (; j > mid; --j)
    {
        for (; i >= l && nodes[i].p > nodes[j].p; --i)
            modify(nodes[i].v, nodes[i].k);
        ans[nodes[j].t] += query(nodes[j].v - 1) * nodes[j].k;
    }
    for (j = mid; j > i; j--)
        modify(nodes[j].v, -nodes[j].k);
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    //freopen("out.txt", "w", stdout);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1, x; i <= n; ++i)
        cin >> x, mp[x] = i, nodes[++tot] = {0, i, x, 1};
    for (int i = 1, x; i <= m; ++i)
        cin >> x, nodes[++tot] = {i, mp[x], x, -1};
    CDQ(1, tot); // CDQ分治
    for (int i = 1; i <= m; ++i)
        ans[i] += ans[i - 1]; // 前缀和
    for (int i = 0; i < m; ++i)
        cout << ans[i] << '\n';
    return 0;
}