图论 - 二分图（染色法、匈牙利算法）

文章目录

前言
[Part 1：染色法判定二分图](#Part 1：染色法判定二分图)
[Part 2：匈牙利算法求二分图的最大匹配](#Part 2：匈牙利算法求二分图的最大匹配)

前言

本篇博客将介绍两种二分图有关的算法，分别是染色法判定二分图和匈牙利算法求二分图的最大匹配。那么我们先要知道什么是二分图？

二分图：有两顶点集且图中每条边的的两个顶点分别位于两个顶点集中，每个顶点集中没有边直接相连接。也就是：图中点通过移动能分成左右两部分，左侧的点只和右侧的点相连，右侧的点只和左侧的点相连。如下图：

Part 1：染色法判定二分图

1.题目描述

给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环。

请你判断这个图是否是二分图。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含两个整数 u 和 v，表示点 u 和点 v 之间存在一条边。

输出格式

如果给定图是二分图，则输出 Yes，否则输出 No。

数据范围

1≤n,m≤10^5^

输入样例

输出样例

Yes

2.算法

开始对任意一未染色的顶点染色
判断其相邻的顶点中，若未染色则将其染上和相邻顶点不同的颜色（因为二分为两个顶点集合，所以一共两种颜色，分别用1和2代替）
若已经染色且颜色和相邻顶点的颜色相同则说明不是二分图，若颜色不同则继续判断
用DFS即可

C++ 复制代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010 * 2;
int e[N], ne[N], idx;//邻接表存储图
int h[N];
int color[N];//保存各个点的颜色，0 未染色，1 是红色，2 是黑色
int n, m;//点和边

void add(int a, int b)//邻接表插入点和边
{
    e[idx] = b, ne[idx]= h[a], h[a] = idx++;
}

bool dfs(int u, int c)//深度优先遍历
{
    color[u] = c;//u的点成 c 染色

    //遍历和 u 相邻的点
    for(int i = h[u]; i!= -1; i = ne[i])
    {
        int b = e[i];                   
        if(!color[b])//相邻的点没有颜色,则递归处理这个相邻点
        {
            if(!dfs(b, 3 - c)) return false;//（3 - 1 = 2， 如果 u 的颜色是2，则和 u 相邻的染成 1）
                                            //（3 - 2 = 1， 如果 u 的颜色是1，则和 u 相邻的染成 2）
        }
        else if(color[b] && color[b] != 3 - c)//如果已经染色，判断颜色是否为 3 - c
        {                                     
            return false;//如果不是，说明冲突，返回                   
        }
    }
    return true;
}

int main()
{
    memset(h, -1, sizeof h);//初始化邻接表
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= m; i++)//读入边
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b), add(b, a);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)//遍历点，因为可能二分图不止一个连通图，所以都要遍历
    {
        if(!color[i])//如果没染色
        {
            if(!dfs(i, 1))//染色该点，并递归处理和它相邻的点
            {
                cout << "No" << endl;//出现矛盾，输出NO 
                return 0;
            }

        }
    }
    cout << "Yes" << endl;//全部染色完成，没有矛盾，输出YES
    return 0;
}

Part 2：匈牙利算法求二分图的最大匹配

1.题目描述

给定一个二分图，其中左半部包含 n~1~ 个点（编号 1∼n~1~），右半部包含 n~2~ 个点（编号 1∼n~2~），二分图共包含 m 条边。

数据保证任意一条边的两个端点都不可能在同一部分中。

请你求出二分图的最大匹配数。

二分图的匹配：给定一个二分图 G，在 G 的一个子图 M 中，M 的边集 {E} 中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称 M 是一个匹配。

二分图的最大匹配：所有匹配中包含边数最多的一组匹配被称为二分图的最大匹配，其边数即为最大匹配数。

输入格式

第一行包含三个整数 n~1~、 n~2~ 和 m。

接下来 m 行，每行包含两个整数 u 和 v，表示左半部点集中的点 u 和右半部点集中的点 v 之间存在一条边。

输出格式

输出一个整数，表示二分图的最大匹配数。

数据范围

1≤n~1~,n~2~≤500,

1≤u≤n~1~,

1≤v≤n~2~,

1≤m≤10^5^

输入样例

输出样例

2.算法

把n~1~看作男生，n~2~看作女生，男生想找女生
算法核心：如果你想找的女孩已经有了男朋友，你就去问问她男朋友，你有没有备胎，把这个让给我好吧
因为你要去问的都是男孩子，所以存边的时候，都是由男孩子指向女孩子
强烈建议听y总讲解该题，得出结论：做错了没关系，但是错过了就追悔莫及了！！！下手要趁早！！！

C++ 复制代码

#include<iostream>
#include <cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

// 邻接表存储图
int n1, n2, m;
int h[500], e[100010],ne[100010], idx = 0;

//st 标记是否递归找过， match[x]：和 x 交往的男生的编号
int st[510], match[510];

//存图函数
void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a]; h[a] = idx++;
}

//递归找可以匹配的点
bool find(int x)
{
    // 和各个点尝试能否匹配
    for(int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int b = e[i];
        if(!st[b])//打标记
        {
            st[b] = 1; //匹配成功时，使得该女生的男朋友换女朋友时不能再和这个女生和好
            // 当前尝试点没有被匹配或者和当前尝试点匹配的那个点可以换另一个匹配
            if(match[b] == 0 || find(match[b]))
            {
                // 和当前尝试点匹配在一起
                match[b] = x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int main()
{
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n1 >> n2 >> m;
    
    // 保存图，因为只从一遍找另一边，所以该无向图只需要存储一个方向
    for(int i = 0; i < m; i++)
    {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b);
    }
    
    int res = 0;
    //为各个点找匹配
    for(int i = 1; i <= n1; i++)
    {
        memset(st, 0, sizeof st);
        if(find(i)) res++;//找到匹配
    }
    
    cout << res;
    
    return 0;
}