3.8 动态规划 背包问题

一.01背包

46. 携带研究材料(第六期模拟笔试) (kamacoder.com)

代码随想录 (programmercarl.com)

携带研究材料:

时间限制:5.000S 空间限制:128MB

题目描述:

小明是一位科学家,他需要参加一场重要的国际科学大会,以展示自己的最新研究成果。他需要带一些研究材料,但是他的行李箱空间有限。这些研究材料包括实验设备、文献资料和实验样本等等,它们各自占据不同的空间,并且具有不同的价值。

小明的行李空间为 N,问小明应该如何抉择,才能携带最大价值的研究材料,每种研究材料只能选择一次,并且只有选与不选两种选择,不能进行切割。

输入描述:

第一行包含两个正整数,第一个整数 M 代表研究材料的种类,第二个正整数 N,代表小明的行李空间。

第二行包含 M 个正整数,代表每种研究材料的所占空间。

第三行包含 M 个正整数,代表每种研究材料的价值。

输出描述:

输出一个整数,代表小明能够携带的研究材料的最大价值。

输入示例:

6 1
2 2 3 1 5 2
2 3 1 5 4 3

1.dp状态描述

dp[i][j]表示前i个物品中行李空间为j时能带的最大价值

space[i]表示i物品所需空间

value[i]表示i物品的价值

2.递推公式

先遍历物品再遍历背包空间时

新来一个物品i时面对两种情况 带或不带,带的前提是当前空间>新物品空间I

if(j>=space[i]) dp[i][j]=max(dp[i-1][j-space[i]]+value[i],dp[i-1][j]);

else dp[i][j]=dp[i-1][j]

  1. 初始状态

是从一个一个物品开始遍历,初始状态有第一个物品即可(第一行)

for(int i=0;i<=n;i++)

{

if(i>=space[0]) dp[0][i]=value[0];

}

4.遍历顺序

先遍历物品或背包都可以,但遍历物品更好理解

cpp 复制代码
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
    int m = 0, n = 0;
    cin >> m >> n;
    vector<int> space,value;
    int tempM=m;
    while(tempM--)
    {
        int tempSpace;
        cin>>tempSpace;
        space.push_back(tempSpace);
    }
    tempM=m;
    while(tempM--)
    {
        int tempValue;
        cin>>tempValue;
        value.push_back(tempValue);
    }
    // for(auto e : space) cout<<e;
    // for(auto e : value) cout<<e;
    //每一个带可能带或不带,前面的选择会影响后面
    //dp[i][j]表示前i个物品中行李空间为j时能带的最大价值   
    //新来一个物品i时面对两种情况 带或不带
    //if(j>=space[i]) dp[i][j]=max(dp[i-1][j-space[i]]+value[i],dp[i-1][j]);
    //else dp[i][j]=dp[i-1][j]
    vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(n+1,0));
    // //初始状态第一行即可
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        if(i>=space[0]) dp[0][i]=value[0];
    }
    for(int i=1;i<m;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(j>=space[i]) dp[i][j]=max(dp[i-1][j-space[i]]+value[i],dp[i-1][j]);
            else dp[i][j]=dp[i-1][j];
        }
    }
    cout<<dp[m-1][n];
    return 0;
}

二.完全背包

52. 携带研究材料(第七期模拟笔试) (kamacoder.com)

代码随想录 (programmercarl.com)

  1. 携带研究材料(第七期模拟笔试)

时间限制:1.000S 空间限制:128MB

题目描述:

小明是一位科学家,他需要参加一场重要的国际科学大会,以展示自己的最新研究成果。他需要带一些研究材料,但是他的行李箱空间有限。这些研究材料包括实验设备、文献资料和实验样本等等,它们各自占据不同的重量,并且具有不同的价值。

小明的行李箱所能承担的总重量为 N,问小明应该如何抉择,才能携带最大价值的研究材料,每种研究材料可以选择无数次,并且可以重复选择。

输入描述:

第一行包含两个整数,N,V,分别表示研究材料的种类和行李空间

接下来包含 N 行,每行两个整数 wi 和 vi,代表第 i 种研究材料的重量和价值

输出描述:

输出一个整数,表示最大价值。

输入示例:

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出示例:

10

1.dp状态描述(与01背包相同)

dp[i][j]表示前i个物品中行李空间为j时能带的最大价值

space[i]表示i物品所需空间

value[i]表示i物品的价值

2.递推公式

先遍历物品再遍历背包空间时

新来一个物品i时面对两种情况 带或不带,带的前提是当前空间>新物品空间I,带的话可以选择带n个,则带的结果是以dp[i][j-space[i]]+value[i]表示,因为此时只需要空间变小即可,依旧可以选择到第i个物品

if(j>=space[i]) dp[i][j]=max(dp[i][j-space[i]]+value[i],dp[i-1][j]);

else dp[i][j]=dp[i-1][j]

  1. 初始状态

是从一个一个物品开始遍历,初始状态有第一个物品即可(第一行),也有01背包略有不同

for(int i=0;i<=n;i++)

{

if(i>=space[0]) dp[0][i]=max(dp[0][i-space[0]]+value[0],value[0]);

}

cpp 复制代码
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
    int m = 0, n = 0;
    cin >> m >> n;
    vector<int> space,value;
    int tempM=m;
    while(tempM--)
    {
        int tempSpace,tempValue;
        cin>>tempSpace>>tempValue;
        space.push_back(tempSpace);
        value.push_back(tempValue);
    }

    vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(n+1,0));
    // //初始状态第一行即可
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        if(i>=space[0]) dp[0][i]=max(dp[0][i-space[0]]+value[0],value[0]);
    }
    for(int i=1;i<m;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            //与01背包唯一不同点就是选择带之后,依然可以选择继续带,则用dp[i][j-space[i]]+value[i]
            if(j>=space[i]) dp[i][j]=max(dp[i][j-space[i]]+value[i],dp[i-1][j]);
            else dp[i][j]=dp[i-1][j];
        }
    }
    cout<<dp[m-1][n];
    return 0;
}

三.一维数组解题

上述代码中都是按"一行"结束后进行下一行的值计算,且每次计算最多只间隔一行,没有出现间隔多行的情况,在计算第100行时只需要第99行,那么保存的0-98行都是浪费内存。

3.1 01背包

1.状态描述:

dp[j]表示空间为j时能装下的最大重量

2.递推公式:

if(j>=space[i]) dp[j]=max(dp[j-space[i]]+value[i],dp[j]);

3.初始状态

for(int i=0;i<=n;i++)

{

if(i>=space[0]) dp[i]=value[0];

}

4.遍历顺序

如果是正序:遍历物品i时

假设dp[j]已经装入了物品i,而后的dp[j+n]也可能装入物品i(可能dp[j-space[i]]的值已经变化了 不再是未装入物品i时的值)

举一个例子:物品0的重量weight[0] = 1,价值value[0] = 15

如果正序遍历

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30

此时dp[2]装入了两次物品0

如果是倒序:则不会出现重复装入情况,因为dp[j-space[i]]未变化,未装入物品i

cpp 复制代码
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
    int m = 0, n = 0;
    cin >> m >> n;
    vector<int> space,value;
    int tempM=m;
    while(tempM--)
    {
        int tempSpace;
        cin>>tempSpace;
        space.push_back(tempSpace);
    }
    tempM=m;
    while(tempM--)
    {
        int tempValue;
        cin>>tempValue;
        value.push_back(tempValue);
    }
    vector<int> dp(n+1,0);
    // //初始状态第一行即可
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        if(i>=space[0]) dp[i]=value[0];
    }
    for(int i=1;i<m;i++)
    {
        for(int j=n;j>=space[i];j--)
        {
            dp[j]=max(dp[j-space[i]]+value[i],dp[j]);
        }
    }
    cout<<dp[n];
    return 0;
}

3.2 完全背包

52. 携带研究材料(第七期模拟笔试) (kamacoder.com)

题目与01背包唯一不同点是,物品i可以带入多个

1.将01背包的遍历顺序改为正序

2.修改初始状态 dp[i]=max(dp[i-space[0]]+value[0],value[0]);

cpp 复制代码
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
    int m = 0, n = 0;
    cin >> m >> n;
    vector<int> space,value;
    int tempM=m;
    while(tempM--)
    {
        int tempSpace,tempValue;
        cin>>tempSpace>>tempValue;
        space.push_back(tempSpace);
        value.push_back(tempValue);
    }
    vector<int> dp(n+1,0);
    for(int i=space[0];i<=n;i++)
    {
        dp[i]=max(dp[i-space[0]]+value[0],value[0]);
    }
    for(int i=1;i<m;i++)
    {
        for(int j=space[i];j<=n;j++)
        {
            dp[j]=max(dp[j-space[i]]+value[i],dp[j]);
        }
    }
    cout<<dp[n];
    return 0;
}
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