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P6 条件概率
一.条件概率
1.Def：设A、B是两个事件，且 P ( A ) > 0 P(A)>0 P(A)>0，称
P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)} P(B∣A)=P(A)P(AB)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
注意：这里样本空间已经从 S 坍塌到 A 了，样本空间减小。 \color{red}{注意：这里样本空间已经从S坍塌到A了，样本空间减小。} 注意：这里样本空间已经从S坍塌到A了，样本空间减小。
2.条件概率满足条件（也是概率）
已知事件A发生且P（A）>0
-
非负性：对于每一件事件B，有 P ( B ∣ A ) ⩾ 0 P(B|A)\geqslant0 P(B∣A)⩾0。
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规范性：对于必然事件S，有 P ( S ∣ A ) = 1 P(S|A)=1 P(S∣A)=1。
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可列可加性：设 B 1 , B 2 , ... B_1,B_2,... B1,B2,...是两两互不相容事件，则有
P ( ⋃ i = 1 ∞ B i ∣ A ) = ∑ i = 1 ∞ P ( B i ∣ A ) P(\quad\bigcup\limits_{i=1}^∞B_i|A\quad) =\sum\limits_{i=1}^∞P(B_i|A) P(i=1⋃∞Bi∣A)=i=1∑∞P(Bi∣A)
3.条件概率的性质：当P（A）> 0时
- P ( B ∣ A ) ⩾ 0 P(B|A)\geqslant 0 P(B∣A)⩾0
- 有限可加性： P ( ⋃ i = 1 n B i ∣ A ) = ∑ i = 1 n P ( B i ∣ A ) P(\quad\bigcup\limits_{i=1}^nB_i|A\quad) =\sum\limits_{i=1}^nP(B_i|A) P(i=1⋃nBi∣A)=i=1∑nP(Bi∣A)
- P ( S ∣ A ) = 0 , P ( ∅ ∣ A ) = 0 P(S|A)=0,P(∅|A)=0 P(S∣A)=0,P(∅∣A)=0
- 加法公式: P ( B ∪ C ∣ A ) = P ( B ∣ A ) + P ( C ∣ A ) − P ( B C ∣ A ) P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)-P(BC|A) P(B∪C∣A)=P(B∣A)+P(C∣A)−P(BC∣A)
- 当B、C互不相容时， P ( B ∪ C ∣ A ) = P ( B ∣ A ) + P ( C ∣ A ) P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A) P(B∪C∣A)=P(B∣A)+P(C∣A)
- 可减性： P ( B − C ∣ A ) = P ( B ∣ A ) − P ( B C ∣ A ) P(B-C|A)=P(B|A)-P(BC|A) P(B−C∣A)=P(B∣A)−P(BC∣A)
- P ( B ˉ ∣ A ) = 1 − P ( B ∣ A ) P(\bar{B}|A)=1-P(B|A) P(Bˉ∣A)=1−P(B∣A)
二.乘法定理
1.Def：设P（A）> 0，P（B）> 0 ，则有
P ( A B ) = P ( B ∣ A ) P ( A ) = P ( A ∣ B ) P ( B ) P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A|B)P(B) P(AB)=P(B∣A)P(A)=P(A∣B)P(B)
称为乘法公式。
2.推广
- 三个事件A、B、C，且P（AB）> 0[ P ( A ) ⩾ P ( A B ) > 0 P(A)\geqslant P(AB) > 0 P(A)⩾P(AB)>0].
P ( A B C ) = P ( C ∣ A B ) P ( B ∣ A ) P ( A ) P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A) P(ABC)=P(C∣AB)P(B∣A)P(A)
- n（ n ⩾ 2 n\geqslant2 n⩾2）个事件 A 1 , A 2 , ... A n A_1,A_2,...A_n A1,A2,...An，且 P ( A 1 A 2 ... A n − 1 ) > 0 P(A_1A_2...A_{n-1}) > 0 P(A1A2...An−1)>0，则有
P ( A 1 A 2 ... A n ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 2 A 1 ) ... P ( A n ∣ A n − 1 ... A 2 A 1 ) P(A_1A_2...A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_2A_1)...P(A_n|A_{n-1}...A_2A_1) P(A1A2...An)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A2A1)...P(An∣An−1...A2A1)
- 注意事件发生的先后次序， A i A_i Ai先于 A i + 1 A_{i+1} Ai+1发生，可用上式。
三.全概率公式 & 贝叶斯公式
3.1 全概率公式（由因求果）
1.样本空间划分：设S为试验E的样本空间， B 1 , B 2 , ... , B n B_1,B_2,...,B_n B1,B2,...,Bn为E的一组事件，若
- B i B j = B_iB_j= BiBj=∅， i ≠ j , i , j = 1 , 2 , ... , n i ≠ j, i,j=1,2,...,n i=j,i,j=1,2,...,n
- B 1 ∪ B 2 ∪ ... ∪ B n = S B_1∪B_2∪...∪B_n=S B1∪B2∪...∪Bn=S
则称 B 1 , B 2 , ... , B n B_1,B_2,...,B_n B1,B2,...,Bn为样本空间S的一个划分（也叫完备事件集）。
注意 : \color{red}{注意:} 注意:①若 B 1 , B 2 , ... , B n B_1,B_2,...,B_n B1,B2,...,Bn为样本空间S的一个划分，则对每次试验，事件 B 1 , B 2 , ... , B n B_1,B_2,...,B_n B1,B2,...,Bn中必有一个且仅有一个发生。
②样本空间的划分一般不唯一。
2.全概率公式：设试验E的样本空间为S，A为E的事件， B 1 , B 2 , ... , B n B_1,B_2,...,B_n B1,B2,...,Bn为S的一个划分，且 P ( B i ) > 0 ( i = 1 , 2 , ... , n ) P(B_i)>0(i=1,2,...,n) P(Bi)>0(i=1,2,...,n)，则
P ( A ) = P ( A ∣ B 1 ) P ( B 1 ) + P ( A ∣ B 2 ) P ( B 2 ) + ... + P ( A ∣ B n ) P ( B n ) = ∑ i = 1 n P ( A ∣ B i ) P ( B i ) P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+...+P(A|B_n)P(B_n)=\sum_{i=1}^nP(A|B_i)P(B_i) P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+...+P(A∣Bn)P(Bn)=i=1∑nP(A∣Bi)P(Bi)
3.2 贝叶斯公式（由果导因）
1.Def：设试验E的样本空间为S。A为E的事件， B 1 , B 2 , ... , B n B_1,B_2,...,B_n B1,B2,...,Bn为S的一组划分，且P（A）> 0， P ( B i ) > 0 ( i = 1 , 2 , ... , n ) P(B_i)>0(i=1,2,...,n) P(Bi)>0(i=1,2,...,n)，则
P ( B i ∣ A ) = P ( A ∣ B i ) P ( B i ) ∑ i = 1 n P ( A ∣ B i ) P ( B i ) P(B_i|A)=\dfrac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum\limits_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)} P(Bi∣A)=i=1∑nP(A∣Bi)P(Bi)P(A∣Bi)P(Bi)
称为贝叶斯公式。
2.全概率 & 贝叶斯
取n=2，并将 B 1 B_1 B1记为 B B B， B 2 B_2 B2记为$ \bar{B}$，则全概率公式和贝叶斯公式可以写成：
P ( A ) = P ( A ∣ B ) P ( B ) + P ( A ∣ B ˉ ) P ( B ˉ ) ------全概率公式 P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|\bar{B})P(\bar{B})------全概率公式 P(A)=P(A∣B)P(B)+P(A∣Bˉ)P(Bˉ)------全概率公式
P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) = P ( A ∣ B ) P ( B ) P ( A ∣ B ) P ( B ) + P ( A ∣ B ˉ ) P ( B ˉ ) ------贝叶斯公式 P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}=\dfrac{P(A|B)P(B)}{P(A|B)P(B)+P(A|\bar{B})P(\bar{B})}------贝叶斯公式 P(B∣A)=P(A)P(AB)=P(A∣B)P(B)+P(A∣Bˉ)P(Bˉ)P(A∣B)P(B)------贝叶斯公式