从线性回归模型看一个简单的成本函数
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- 🌼引入：模型参数
- 🌼模型参数如何影响我们的模型
- [🌼评价拟合效果------成本函数(Cost function)](#🌼评价拟合效果——成本函数(Cost function))
🌾🌾在上一篇文章中，我们用波特兰房屋面积大小与价格的关系，建立了线性回归模型。同时，在上篇文章中，我们基本了解到了机器学习中的专业名词以及符号表示。在这一次，同样又根据吴恩达老师的机器学习过程，总结成本函数(代价函数)，这是很重要的，因为成本函数将告诉我们模型的运行情况，可以帮助我们尝试将模型做得更好。希望对大家有帮助。
🌼引入：模型参数
我们仍然以上一篇文章中的例子作为切入。
我们的训练集包含输入特征(input features)x和输出目标(output targets)y。
我们选定来拟合这个训练集的模型是线性函数。即：
M o d e l : f w , b ( x ) = w x + b Model:f_{w,b}(x)=wx+b Model:fw,b(x)=wx+b
其中，参数 w w w和 b b b被称为模型参数。
以我们之前中学的知识，我们知道 w w w和 b b b是待定参数，即变量。同样，在机器学习中也是如此。 w w w 和 b b b作为模型的参数，是我们可以在训练期间可以改进模型的变量。
🌼模型参数如何影响我们的模型
作为参数 w w w和 b b b到底会怎样影响我们的模型呢？
下面，我们通过简单的几种特殊情况的很简单的例子来看一下：
即简单的说明， w w w和 b b b的取值影响我们的"线",即影响我们的模型。
而对于我们的数据集，和我们定下的线性回归模型，我们需要选择 w w w和 b b b的值，以便我们的得到的函数f可以更好地拟合我们的数据。
（其中 y ^ \hat{y} y^是模型的预测值。）
这条直线，在视觉上，我们看起来是相符的，但是这粗略的判断或者大概的估计，是不严谨的，我们并不能通过"视觉观察"来寻求 w w w和 b b b的最优值。
所以，我们现在的问题，产生了，如何找到 w w w和 b b b的值，使得尽可能多的训练示例 x i x_i xi、 y i y_i yi的预测值 y ^ i \hat y_i y^i接近真实目标 y i y_i yi,使得拟合效果尽可能地好。
🌼评价拟合效果------成本函数(Cost function)
那么现在怎么评价拟合效果尽可能地好呢？如何衡量拟合的结果呢？
为此，我们将构建一个成本函数(Cost function)。
成本函数其实就是，采用预测的 y ^ i \hat y_i y^i减去目标值 y y y，这样进行预测值和原真值的一个比较，即就是计算误差，测量预测与目标的距离。
但是如上，这样的误差可能是正、也可能是负，在数学中，衡量整体而非单个的误差，我们都要计算误差的绝对值或者平方(一般都是平方)。
通写如此。我们要为训练集中的不同训练示例i计算此项，即：
为了构建一个不会随着训练集大小而自动变大的成本函数，我们将计算平均平方误差而不是总平均误差，我们采用对每一个训练示例的误差求和再平均。
即：
按照惯例，机器学习使用的成本函数实际上时在上面此基础上再除以2，额外除以2只是为了让我们后面的一些计算看起来更加整洁。
成本函数，我们一般用J来代表成本函数，即：
J ( w , b ) J(w,b) J(w,b)这也称为平均误差成本函数。
在上述式子中, y ^ ( i ） \hat y^{(i）} y^(i）是预测值，可以写作为 f w , b ( x ( i ) ) f_{w,b}(x^{(i)}) fw,b(x(i))。故成本函数 J J J就可以写成了：
在机器学习中，不同的人会针对不同的应用程序使用不同的成本函数，但平方误差成本函数 J ( w , b ) J(w,b) J(w,b)是迄今为止线性回归最常用的函数。就此而言，对于所有的回归问题，它似乎为许多应用程序提供了良好的结果。