【深度学习笔记】优化算法——Adam算法

Adam算法

🏷sec_adam

本章我们已经学习了许多有效优化的技术。

在本节讨论之前，我们先详细回顾一下这些技术：

• 在 :numref:sec_sgd中，我们学习了：随机梯度下降在解决优化问题时比梯度下降更有效。
• 在 :numref:sec_minibatch_sgd中，我们学习了：在一个小批量中使用更大的观测值集，可以通过向量化提供额外效率。这是高效的多机、多GPU和整体并行处理的关键。
• 在 :numref:sec_momentum中我们添加了一种机制，用于汇总过去梯度的历史以加速收敛。
• 在 :numref:sec_adagrad中，我们通过对每个坐标缩放来实现高效计算的预处理器。
• 在 :numref:sec_rmsprop中，我们通过学习率的调整来分离每个坐标的缩放。

Adam算法 :cite:Kingma.Ba.2014将所有这些技术汇总到一个高效的学习算法中。

不出预料，作为深度学习中使用的更强大和有效的优化算法之一，它非常受欢迎。

但是它并非没有问题，尤其是 :cite:Reddi.Kale.Kumar.2019表明，有时Adam算法可能由于方差控制不良而发散。

在完善工作中， :cite:Zaheer.Reddi.Sachan.ea.2018给Adam算法提供了一个称为Yogi的热补丁来解决这些问题。

下面我们了解一下Adam算法。

算法

Adam算法的关键组成部分之一是：它使用指数加权移动平均值来估算梯度的动量和二次矩，即它使用状态变量

v t ← β 1 v t − 1 + ( 1 − β 1 ) g t , s t ← β 2 s t − 1 + ( 1 − β 2 ) g t 2 . \begin{aligned} \mathbf{v}t & \leftarrow \beta_1 \mathbf{v}{t-1} + (1 - \beta_1) \mathbf{g}_t, \\ \mathbf{s}t & \leftarrow \beta_2 \mathbf{s}{t-1} + (1 - \beta_2) \mathbf{g}_t^2. \end{aligned} vtst←β1vt−1+(1−β1)gt,←β2st−1+(1−β2)gt2.

这里 β 1 \beta_1 β1和 β 2 \beta_2 β2是非负加权参数。

常将它们设置为 β 1 = 0.9 \beta_1 = 0.9 β1=0.9和 β 2 = 0.999 \beta_2 = 0.999 β2=0.999。

也就是说，方差估计的移动远远慢于动量估计的移动。

注意，如果我们初始化 v 0 = s 0 = 0 \mathbf{v}_0 = \mathbf{s}_0 = 0 v0=s0=0，就会获得一个相当大的初始偏差。

我们可以通过使用 ∑ i = 0 t β i = 1 − β t 1 − β \sum_{i=0}^t \beta^i = \frac{1 - \beta^t}{1 - \beta} ∑i=0tβi=1−β1−βt来解决这个问题。

相应地，标准化状态变量由下式获得

v ^ t = v t 1 − β 1 t and s ^ t = s t 1 − β 2 t . \hat{\mathbf{v}}_t = \frac{\mathbf{v}_t}{1 - \beta_1^t} \text{ and } \hat{\mathbf{s}}_t = \frac{\mathbf{s}_t}{1 - \beta_2^t}. v^t=1−β1tvt and s^t=1−β2tst.

有了正确的估计，我们现在可以写出更新方程。

首先，我们以非常类似于RMSProp算法的方式重新缩放梯度以获得

g t ′ = η v ^ t s ^ t + ϵ . \mathbf{g}_t' = \frac{\eta \hat{\mathbf{v}}_t}{\sqrt{\hat{\mathbf{s}}_t} + \epsilon}. gt′=s^t +ϵηv^t.

与RMSProp不同，我们的更新使用动量 v ^ t \hat{\mathbf{v}}_t v^t而不是梯度本身。

此外，由于使用 1 s ^ t + ϵ \frac{1}{\sqrt{\hat{\mathbf{s}}_t} + \epsilon} s^t +ϵ1而不是 1 s ^ t + ϵ \frac{1}{\sqrt{\hat{\mathbf{s}}_t + \epsilon}} s^t+ϵ 1进行缩放，两者会略有差异。

前者在实践中效果略好一些，因此与RMSProp算法有所区分。

通常，我们选择 ϵ = 1 0 − 6 \epsilon = 10^{-6} ϵ=10−6，这是为了在数值稳定性和逼真度之间取得良好的平衡。

最后，我们简单更新：

x t ← x t − 1 − g t ′ . \mathbf{x}t \leftarrow \mathbf{x}{t-1} - \mathbf{g}_t'. xt←xt−1−gt′.

回顾Adam算法，它的设计灵感很清楚：

首先，动量和规模在状态变量中清晰可见，

它们相当独特的定义使我们移除偏项（这可以通过稍微不同的初始化和更新条件来修正）。

其次，RMSProp算法中两项的组合都非常简单。

最后，明确的学习率 η \eta η使我们能够控制步长来解决收敛问题。

实现

从头开始实现Adam算法并不难。

为方便起见，我们将时间步 t t t存储在hyperparams字典中。

除此之外，一切都很简单。

%matplotlib inline
import torch
from d2l import torch as d2l


def init_adam_states(feature_dim):
    v_w, v_b = torch.zeros((feature_dim, 1)), torch.zeros(1)
    s_w, s_b = torch.zeros((feature_dim, 1)), torch.zeros(1)
    return ((v_w, s_w), (v_b, s_b))

def adam(params, states, hyperparams):
    beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-6
    for p, (v, s) in zip(params, states):
        with torch.no_grad():
            v[:] = beta1 * v + (1 - beta1) * p.grad
            s[:] = beta2 * s + (1 - beta2) * torch.square(p.grad)
            v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t'])
            s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t'])
            p[:] -= hyperparams['lr'] * v_bias_corr / (torch.sqrt(s_bias_corr)
                                                       + eps)
        p.grad.data.zero_()
    hyperparams['t'] += 1

现在，我们用以上Adam算法来训练模型，这里我们使用 η = 0.01 \eta = 0.01 η=0.01的学习率。

data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(adam, init_adam_states(feature_dim),
               {'lr': 0.01, 't': 1}, data_iter, feature_dim);

loss: 0.244, 0.015 sec/epoch

此外，我们可以用深度学习框架自带算法应用Adam算法，这里我们只需要传递配置参数。

trainer = torch.optim.Adam
d2l.train_concise_ch11(trainer, {'lr': 0.01}, data_iter)

loss: 0.254, 0.015 sec/epoch

Yogi

Adam算法也存在一些问题：

即使在凸环境下，当 s t \mathbf{s}_t st的二次矩估计值爆炸时，它可能无法收敛。

:cite:Zaheer.Reddi.Sachan.ea.2018为 s t \mathbf{s}_t st提出了的改进更新和参数初始化。

论文中建议我们重写Adam算法更新如下：

s t ← s t − 1 + ( 1 − β 2 ) ( g t 2 − s t − 1 ) . \mathbf{s}t \leftarrow \mathbf{s}{t-1} + (1 - \beta_2) \left(\mathbf{g}t^2 - \mathbf{s}{t-1}\right). st←st−1+(1−β2)(gt2−st−1).

每当 g t 2 \mathbf{g}_t^2 gt2具有值很大的变量或更新很稀疏时， s t \mathbf{s}_t st可能会太快地"忘记"过去的值。

一个有效的解决方法是将 g t 2 − s t − 1 \mathbf{g}t^2 - \mathbf{s}{t-1} gt2−st−1替换为 g t 2 ⊙ s g n ( g t 2 − s t − 1 ) \mathbf{g}_t^2 \odot \mathop{\mathrm{sgn}}(\mathbf{g}t^2 - \mathbf{s}{t-1}) gt2⊙sgn(gt2−st−1)。

这就是Yogi更新，现在更新的规模不再取决于偏差的量。

s t ← s t − 1 + ( 1 − β 2 ) g t 2 ⊙ s g n ( g t 2 − s t − 1 ) . \mathbf{s}t \leftarrow \mathbf{s}{t-1} + (1 - \beta_2) \mathbf{g}_t^2 \odot \mathop{\mathrm{sgn}}(\mathbf{g}t^2 - \mathbf{s}{t-1}). st←st−1+(1−β2)gt2⊙sgn(gt2−st−1).

论文中，作者还进一步建议用更大的初始批量来初始化动量，而不仅仅是初始的逐点估计。

def yogi(params, states, hyperparams):
    beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-3
    for p, (v, s) in zip(params, states):
        with torch.no_grad():
            v[:] = beta1 * v + (1 - beta1) * p.grad
            s[:] = s + (1 - beta2) * torch.sign(
                torch.square(p.grad) - s) * torch.square(p.grad)
            v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t'])
            s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t'])
            p[:] -= hyperparams['lr'] * v_bias_corr / (torch.sqrt(s_bias_corr)
                                                       + eps)
        p.grad.data.zero_()
    hyperparams['t'] += 1

data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(yogi, init_adam_states(feature_dim),
               {'lr': 0.01, 't': 1}, data_iter, feature_dim);

loss: 0.245, 0.015 sec/epoch

小结

• Adam算法将许多优化算法的功能结合到了相当强大的更新规则中。
• Adam算法在RMSProp算法基础上创建的，还在小批量的随机梯度上使用EWMA。
• 在估计动量和二次矩时，Adam算法使用偏差校正来调整缓慢的启动速度。
• 对于具有显著差异的梯度，我们可能会遇到收敛性问题。我们可以通过使用更大的小批量或者切换到改进的估计值 s t \mathbf{s}_t st来修正它们。Yogi提供了这样的替代方案。