【图论】 【割点】 【双连通分类】LCP 54. 夺回据点

本文涉及知识点

图论 割点 双连通分类
割点原理及封装好的割点类

LeetCode LCP 54. 夺回据点

魔物了占领若干据点，这些据点被若干条道路相连接，roads[i] = [x, y] 表示编号 x、y 的两个据点通过一条道路连接。

现在勇者要将按照以下原则将这些据点逐一夺回：

在开始的时候，勇者可以花费资源先夺回一些据点，初始夺回第 j 个据点所需消耗的资源数量为 cost[j]

接下来，勇者在不消耗资源情况下，每次可以夺回一个和「已夺回据点」相连接的魔物据点，并对其进行夺回

注：为了防止魔物暴动，勇者在每一次夺回据点后（包括花费资源夺回据点后），需要保证剩余的所有魔物据点之间是相连通的（不经过「已夺回据点」）。

请返回勇者夺回所有据点需要消耗的最少资源数量。

注意：

输入保证初始所有据点都是连通的，且不存在重边和自环

示例 1：

输入： cost = [1,2,3,4,5,6] roads = [[0,1],[0,2],[1,3],[2,3],[1,2],[2,4],[2,5]]

输出：6

解释： 勇者消耗资源 6 夺回据点 0 和 4，魔物据点 1、2、3、5 相连通； 第一次夺回据点 1，魔物据点 2、3、5 相连通； 第二次夺回据点 3，魔物据点 2、5 相连通； 第三次夺回据点 2，剩余魔物据点 5； 第四次夺回据点 5，无剩余魔物据点； 因此最少需要消耗资源为 6，可占领所有据点。i

示例 2：

输入： cost = [3,2,1,4] roads = [[0,2],[2,3],[3,1]]

输出：2

解释： 勇者消耗资源 2 夺回据点 1，魔物据点 0、2、3 相连通； 第一次夺回据点 3，魔物据点 2、0 相连通； 第二次夺回据点 2，剩余魔物据点 0； 第三次夺回据点 0，无剩余魔物据点； 因此最少需要消耗资源为 2，可占领所有据点。image.png

提示：

1 <= roads.length, cost.length <= 10⁵

0 <= roads[i][0], roads[i][1] < cost.length

1 <= cost[i] <= 10⁹

预备知识

点双连通：删掉任意一个点之后及关联的边后，图仍联通。

点双连通分量的缩点

性质一 ： 无向图中，要么是树边，父亲指向孩子；要么是回边，后代指向祖宗。见：割点原理及封装好的割点类。
性质二 ：一个环一定是点双连通。
性质三 ：一个环+一个树，一定不是点双连通区域。令树的一边a,b不在环上,b不在环上。则删除a,b就成了新的连通区域。
性质四 ：两个环有一个点重合，一定不是点双连通。删除重合点就分开了。
性质五 ：两个环有两个或更多的顶点相同，则一定是双连通区域。令相同的顶点是a和b。删除a后，两个环余下的点，通过b连通。删除b，类似。
性质六 ：设G1,G2最大点双连通图，如果G1和G2包括相同的边ab，则G1 == G2。删除a后，G1和G2所有的点都可以通过b连通，故G1和G2可以合并。
性质七：无向图的任何树边都只属于一个强连通分量。

简化情况

假定是树，且节点数大于等于3。一定会存在度数>=2的节点，以任意度数为2的根，形成树。

令叶子数是k，选择k-2个叶子结束，无法完全占据。2个叶子节点最近公共祖先无法消除。

选择k-1个叶子，一定可以占据。设没选择的节点是a，k-1个消除到和a的公共祖先，余下的树都是a的祖先，从根开始消除。

不能选择根节点，除一个子树外，可以选择排除一个叶子节 点外的叶子节点；其它子树要全部选择。显然劣于k-1叶子节点。

不能选择枝节点，选了只有两个选择：

a，本子树全选，本子树外的叶子排除一个外全选。

b,本子树外的节点全选。本子树的叶子排除一个外全选。

显然劣于选择k-1个叶子节点。

红色字体是割点，红色线段是回边。

共四个点双连通区域，红色背景（节点0)、绿色背景(3）、紫色背景(6) 只和一个割点连接，消除不会形成新的连通区域。蓝色节点(4)和两个割点连通，首先删除会，让2和5断开。

点双连通区域占据任意点，任意剩余据点也是连通。

关于点双连通区域

性质一 ：除根节点外的任何节点x都会放到符合以下条件的next所在连通区域。

next就是x或next是x的祖宗。如果多个next，取级别最高的。

断开cur后，next和cur的祖宗不连通。每个节点只会入栈出栈一次。
性质二 ：next的父节点也会放到next所在的双连通区域。
性质三：除根节点外的任何节点x 都有符合性质一的next，根节点的子节点一定符合。

代码

两种特殊情况： 一个连通区域只有一个点。本类会解析错误，解析成没有点双连同区域。

没有割点，会解析成一个点双连通区域，解析正确。本题要特殊处理。

class CNeiBo
{
public:	
	static vector<vector<int>> Two(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0) 
	{
		vector<vector<int>>  vNeiBo(n);
		for (const auto& v : edges)
		{
			vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase);
			if (!bDirect)
			{
				vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}	
	static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
	{
		vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);
		for (const auto& v : edges)
		{
			vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase, v[2]);
			if (!bDirect)
			{
				vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase, v[2]);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}
	static vector<vector<int>> Grid(int rCount, int cCount, std::function<bool(int, int)> funVilidCur, std::function<bool(int, int)> funVilidNext)
	{
		vector<vector<int>> vNeiBo(rCount * cCount);
		auto Move = [&](int preR, int preC, int r, int c)
		{
			if ((r < 0) || (r >= rCount))
			{
				return;
			}
			if ((c < 0) || (c >= cCount))

			{
				return;
			}
			if (funVilidCur(preR, preC) && funVilidNext(r, c))
			{
				vNeiBo[cCount * preR + preC].emplace_back(r * cCount + c);
			}
		};

		for (int r = 0; r < rCount; r++)
		{
			for (int c = 0; c < cCount; c++)
			{
				Move(r, c, r + 1, c);
				Move(r, c, r - 1, c);
				Move(r, c, r, c + 1);
				Move(r, c, r, c - 1);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}
};

//割点
class CCutPoint
{
public:
	CCutPoint(const vector<vector<int>>& vNeiB) : m_iSize(vNeiB.size())
	{
		m_vNodeToTime.assign(m_iSize, -1);
		m_vCutNewRegion.resize(m_iSize);		
	}
	void Init(const vector<vector<int>>& vNeiB)
	{
		for (int i = 0; i < m_iSize; i++)
		{
			if (-1 == m_vNodeToTime[i])
			{
				m_vRegionFirstTime.emplace_back(m_iTime);
				dfs(vNeiB, i, -1);
			}
		}
	}	
	const int m_iSize;
	const vector<int>& Time()const { return m_vNodeToTime; }//各节点的时间戳
	const vector<int>& RegionFirstTime()const { return m_vRegionFirstTime; }//各连通区域的最小时间戳
	vector<bool> Cut()const { 
		vector<bool> ret;
		for (int i = 0; i < m_iSize; i++)
		{
			ret.emplace_back(m_vCutNewRegion[i].size());
		}
		return ret; }//
	const vector < vector<pair<int, int>>>& NewRegion()const { return m_vCutNewRegion; };
protected:
	int dfs(const vector<vector<int>>& vNeiB, const int cur, const int parent)
	{
		int iMinTime = m_vNodeToTime[cur] = m_iTime++;
		OnBeginDFS(cur);
		int iRegionCount = (-1 != parent);//根连通区域数量
		for (const auto& next : vNeiB[cur]) {
			if (-1 != m_vNodeToTime[next]) {
				iMinTime = min(iMinTime, m_vNodeToTime[next]);
				continue;
			}
			const int childMinTime = dfs(vNeiB, next, cur);
			iMinTime = min(iMinTime, childMinTime);
			if (childMinTime >= m_vNodeToTime[cur]) {
				iRegionCount++;
				m_vCutNewRegion[cur].emplace_back(m_vNodeToTime[next], m_iTime);
				OnNewRegion(cur, next);
			}
		}
		if (iRegionCount < 2)
		{
			m_vCutNewRegion[cur].clear();
		}
		return iMinTime;
	}
	virtual void OnNewRegion(int cur, int next) {};
	virtual void OnBeginDFS(int cur) {};
	vector<int> m_vNodeToTime;
	vector<int> m_vRegionFirstTime;
	vector < vector<pair<int, int>>> m_vCutNewRegion; //m_vCutNewRegion[c]如果存在[left,r) 表示割掉c后，时间戳[left,r)的节点会形成新区域
	int m_iTime = 0;
};

class CConnectAfterCutPoint 
{
public:
	CConnectAfterCutPoint(const vector<vector<int>>& vNeiB) :m_ct(vNeiB)
	{
		m_vTimeToNode.resize(m_ct.m_iSize);
		m_vNodeToRegion.resize(m_ct.m_iSize);
		for (int iNode = 0; iNode < m_ct.m_iSize; iNode++)
		{
			m_vTimeToNode[m_ct.Time()[iNode]] = iNode;
		}
		for (int iTime = 0,iRegion= 0; iTime < m_ct.m_iSize; iTime++)
		{
			if ((iRegion < m_ct.RegionFirstTime().size()) && (m_ct.RegionFirstTime()[iRegion] == iTime))
			{
				iRegion++;
			}
			m_vNodeToRegion[m_vTimeToNode[iTime]] = (iRegion - 1);
		}
	}
	bool Connect(int src, int dest, int iCut)const
	{
		if (m_vNodeToRegion[src] != m_vNodeToRegion[dest])
		{
			return false;//不在一个连通区域
		}
		if (0 == m_ct.NewRegion()[iCut].size())
		{//不是割点
			return true;
		}
		const int r1 = GetCutRegion(iCut, src);
		const int r2 = GetCutRegion(iCut, dest);
		return r1 == r2;
	}
	vector<vector<int>> GetSubRegionOfCut(const int iCut)const
	{//删除iCut及和它相连的边后，iCut所在的区域会分成几个区域：父节点一个区域、各子节点		一个区域
			//父节点所在区域可能为空，如果iCut所在的连通区域只有一个节点，则返回一个没有节点的			区域。
		const auto& v = m_ct.NewRegion()[iCut];
		vector<int> vParen;
		const int iRegion = m_vNodeToRegion[iCut];
		const int iEndTime = (iRegion + 1 == m_ct.RegionFirstTime().size()) ? m_ct.m_iSize : m_ct.RegionFirstTime()[iRegion+1];
		vector<vector<int>> vRet;	
		for (int iTime = m_ct.RegionFirstTime()[iRegion],j=-1; iTime < iEndTime; iTime++)
		{
			if (iCut == m_vTimeToNode[iTime])
			{
				continue;
			}
			if ((j + 1 < v.size()) && (v[j + 1].first == iTime))
			{
				j++;
				vRet.emplace_back();
			}
			const int iNode = m_vTimeToNode[iTime];
			if ((-1 != j ) && (iTime >= v[j].first) && (iTime < v[j].second))
			{
				vRet.back().emplace_back(iNode);
			}
			else
			{
				vParen.emplace_back(iNode);
			}			
		}
		vRet.emplace_back();
		vRet.back().swap(vParen);
		return vRet;
	}	
protected:
	int GetCutRegion(int iCut, int iNode)const
	{
		const auto& v = m_ct.NewRegion()[iCut];
		auto it = std::upper_bound(v.begin(), v.end(), m_ct.Time()[iNode], [](int time, const std::pair<int, int>& pr) {return  time < pr.first; });
		if (v.begin() == it)
		{
			return v.size();
		}
		--it;
		return (it->second > m_ct.Time()[iNode]) ? (it - v.begin()) : v.size();
	}
	vector<int> m_vTimeToNode;
	vector<int> m_vNodeToRegion;//各节点所在区域
	const CCutPoint m_ct;
};

class CPointBitConnect :public CCutPoint
{//点双连通区域
public:
	CPointBitConnect(const vector<vector<int>>& vNeiB):CCutPoint(vNeiB)
	{
		
	}
	stack<int> m_staNodes;
	vector<vector<int>> m_vBitConnect;
protected:
	virtual void OnNewRegion(int cur, int next) override {
		m_vBitConnect.emplace_back();
		while (true)
		{
			const int t = m_staNodes.top();
			m_staNodes.pop();
			m_vBitConnect.back().emplace_back(t);
			if (t == next)
			{
				break;
			}
		}
		m_vBitConnect.back().emplace_back(cur);
	};
	virtual void OnBeginDFS(int cur)override {
		m_staNodes.emplace(cur);
	};
};

class Solution {
public:
    long long minimumCost(vector<int>& cost, vector<vector<int>>& roads) {
        m_c = cost.size();
        if (1 == m_c)
        {
            return cost[0];
        }
        auto neiBo = CNeiBo::Two(m_c, roads, false);
        CPointBitConnect pbc(neiBo);
        pbc.Init(neiBo);
        if (1 == pbc.m_vBitConnect.size())
        {
            return *std::min_element(cost.begin(), cost.end());
        }
        long long ans = 0;
        int iMax = 0;
        vector<bool> vCut = pbc.Cut();
        for (auto& v : pbc.m_vBitConnect)
        {
            int iCutCount = 0;
            int iCurMin = INT_MAX;
            for (const auto& iNode : v)
            {
                iCutCount += vCut[iNode];
                if (!vCut[iNode])
                {
                    iCurMin = min(iCurMin, cost[iNode]);
                }
            }
            if (1 == iCutCount)
            {
                iMax = max(iMax, iCurMin);
                ans += iCurMin;
            }
        }
        return ans - iMax;
    }
    int m_c;
};

测试用例

template<class T, class T2>
void Assert(const T& t1, const T2& t2)
{
	assert(t1 == t2);
}

template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	if (v1.size() != v2.size())
	{
		assert(false);
		return;
	}
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		Assert(v1[i], v2[i]);
	}

}



int main()
{
    vector<int> cost;
    vector<vector<int>> roads;

    {
        Solution sln;
        cost = { 3,2,1,4 }, roads = { {0,2},{2,3},{3,1} };
        auto res = sln.minimumCost(cost, roads);
        Assert(2, res);
    }
    {
        Solution sln;
        cost = { 1,2,3,4,5,6 }, roads = { {0,1},{0,2},{1,3},{2,3},{1,2},{2,4},{2,5} };
        auto res = sln.minimumCost(cost, roads);
        Assert(6, res);
    }
  
}

扩展阅读

视频课程

有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快

速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

相关下载

想高屋建瓴的学习算法，请下载《喜缺全书算法册》doc版
https://download.csdn.net/download/he_zhidan/88348653

我想对大家说的话
闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17

或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17

如无特殊说明，本算法用**C++**实现。