文章目录
- [第一章 概率论的基本概念](#第一章 概率论的基本概念)
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- [1.1 随机试验](#1.1 随机试验)
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- [1.1.1 前言](#1.1.1 前言)
- [1.1.2 随机试验](#1.1.2 随机试验)
- [1.2 样本空间、随机事件](#1.2 样本空间、随机事件)
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- [1.2.1 样本空间](#1.2.1 样本空间)
- [1.2.2 随机事件](#1.2.2 随机事件)
- [1.2.3 事件的关系、事件的运算、运算法则](#1.2.3 事件的关系、事件的运算、运算法则)
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- [1.2.3.1 事件的关系](#1.2.3.1 事件的关系)
- [1.2.3.2 事件的运算](#1.2.3.2 事件的运算)
- [1.2.3.3 运算法则](#1.2.3.3 运算法则)
- [1.3 频率与概率](#1.3 频率与概率)
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- [1.3.1 概率的描述性定义](#1.3.1 概率的描述性定义)
- [1.3.2 概率的统计性定义------频率](#1.3.2 概率的统计性定义——频率)
- [1.3.3 概率的公理性定义](#1.3.3 概率的公理性定义)
- [1.4 古典概型（等可能概型）](#1.4 古典概型（等可能概型）)
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- [1.4.1 中学概率知识](#1.4.1 中学概率知识)
- [1.4.2 古典概型](#1.4.2 古典概型)
- [1.4.3 古典概型基本模型](#1.4.3 古典概型基本模型)
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- [1.4.3.1 分球模型](#1.4.3.1 分球模型)
- [1.4.3.2 分球入盒模型](#1.4.3.2 分球入盒模型)
- [1.4.3.3 分组问题](#1.4.3.3 分组问题)
- [1.4.3.4 超几何分布](#1.4.3.4 超几何分布)
- [1.4.4 几何概型（等可能概型）](#1.4.4 几何概型（等可能概型）)
- [1.5 条件概率](#1.5 条件概率)
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- [1.5.1 条件概率](#1.5.1 条件概率)
- [1.5.2 乘法定理](#1.5.2 乘法定理)
- [1.5.3 全概率公式 & 贝叶斯公式](#1.5.3 全概率公式 & 贝叶斯公式)
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- [1.5.3.1 全概率公式（由因求果）](#1.5.3.1 全概率公式（由因求果）)
- [1.5.3.2 贝叶斯公式（由果导因）](#1.5.3.2 贝叶斯公式（由果导因）)
- [1.6 独立性](#1.6 独立性)
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- [1.6.1 描述性定义](#1.6.1 描述性定义)
- [1.6.2 数学定义](#1.6.2 数学定义)
- [1.6.3 多个事件的独立性](#1.6.3 多个事件的独立性)
- [1.6.4 独立性判断](#1.6.4 独立性判断)
- [1.6.5 独立重复试验](#1.6.5 独立重复试验)
第一章 概率论的基本概念
1.1 随机试验
1.1.1 前言
1.研究对象：
- 确定性现象：必然发生或不发生
- 随机现象：个别试验结果呈现不确定性，大量试验结果呈现统计规律性
2.概率论与数理统计：
该学科是研究和揭示随机现象统计规律性的学科。
1.1.2 随机试验
1.定义：
- 可以在相同条件下重复进行；
- 每次试验的结果可能不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果（明确结果范围也行，如测试灯泡的寿命）；
- 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
2.随机试验（简称试验）用字母E表示。
1.2 样本空间、随机事件
1.2.1 样本空间
1.Def：随机试验所有可能结果组成的 集合 \color{red}{集合} 集合（确定性、互异性、无序性），记为S或Ω 。
2.样本点：随机试验的每个结果，记为e或ω。
3.求样本空间：
①列举法：有限样本空间，例：S={1，2，3，4}
②描述法：无限样本空间，例：S={1，2，3，4，......}， S={ t|t > 0 }
1.2.2 随机事件
1.Def：样本空间S的子集称为E的随机事件，用A，B，......表示，简称事件。
2.事件发生：在每次试验中，当且仅当随机事件中的一个样本点出现。
3.基本事件：由一个样本点组成的单点集。
4.必然事件：样本空间S包含所有样本点，在每次试验中它总发生。
5.不可能事件：空集∅不包含任何样本点，在每次试验中它总不发生。
1.2.3 事件的关系、事件的运算、运算法则
1.2.3.1 事件的关系
1.包含：A⊂B， 事件A发生必然导致事件B发生。
2.相等：A=B， 事件A发生必然导致事件B发生，反之亦然。
3.互斥（互不相容）：AB = ∅， 事件A和B不可能同时发生。
4.对立：A**∪**B=S 且 AB = ∅。在一次试验中，事件A和B必然有一个发生且仅有一个发生，这时候我们称事件A和B互为对立事件/逆事件，记作B=Ā。
附： \color{blue}{附：} 附：①A和Ā互为逆事件，且Ā = S - A。
②事件组 A 1 , A 2 , ... ... , A n A_1,A_2,......,A_n A1,A2,......,An中任意两个事件互不相容，则称这些事件两两互不相容 or 两两互斥（完备事件集）。
（ A i A j A_iA_j AiAj=∅，i ≠ j，i、j = 1，2，3，......，n）
1.2.3.2 事件的运算
1.和事件（并）：A + B 或 A∪B，两个事件A、B中，至少有一个事件发生。
2.积事件（交）：AB 或 A∩B，当且仅当事件A、B同时发生时，事件AB才会发生。
3.差事件：A - B 或 A B ˉ \bar{B} Bˉ，当且仅当事件A发生，事件B不发生时，事件A - B发生。
推广 : \color{blue}{推广:} 推广:①称 ⋃ i = 1 n A k \quad\bigcup\limits_{i=1}^nA_k\quad i=1⋃nAk为n个事件 A 1 , A 2 , ... ... , A n A_1,A_2,......,A_n A1,A2,......,An的和事件。
②称 ⋂ i = 1 n A k \quad\bigcap\limits_{i=1}^nA_k i=1⋂nAk为n个事件 A 1 , A 2 , ... ... , A n A_1,A_2,......,A_n A1,A2,......,An的积事件。
附 : \color{blue}{附:} 附:可列事件：可以完全列出 or 可以按照一定规律列出的事件 { 自然数、整数 : 可列 实数 : 不可列(有理可列，无理不可列) \begin{cases} 自然数、整数:&\text{可列}\\ 实数:&\text{不可列(有理可列，无理不可列)} \end{cases} {自然数、整数:实数:可列不可列(有理可列，无理不可列)
1.2.3.3 运算法则
1.吸收律：若A⊂B，则A∪B = B，AB = A， B ˉ \bar{B} Bˉ⊂ A ˉ \bar{A} Aˉ
2.交换律：A∪B = B∪A，AB = BA
3.结合律：A∪（B∪C）=（A∪B）∪C，A（BC）= （AB）C
4.分配律：A∪（B∩C）=（A∪B）∩（B∪C），A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）
A（B - C）= AB - AC，A - （B∪C）= （A - B）∩（A - C），A - （B∩C）= （A - B） ∪（A - C）
5.德摩根律： A ∪ B ‾ = A ˉ ∩ B ˉ \overline{A∪B} = \bar{A}∩\bar{B} A∪B=Aˉ∩Bˉ， A ∩ B ‾ = A ˉ ∪ B ˉ \overline{A∩B} = \bar{A}∪\bar{B} A∩B=Aˉ∪Bˉ
6.矛盾律：A∩ A ˉ = \bar{A}= Aˉ=∅ ，排中律：A ∪ A ˉ = \bar{A}= Aˉ=E
7.运算符优先级：先逆，再交，最后并 or 差。
附 : \color{red}{附:} 附:A - B，AB，B - A 为两两互斥事件，所以有A = （A - B）∪AB，B = （B - A）∪AB。
1.3 频率与概率
1.3.1 概率的描述性定义
1.Def：称随机事件A发生的可能性大小的度量（非负值）为事件A发生的概率。
1.3.2 概率的统计性定义------频率
1.Def：在相同条件下进行n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数 n A n_A nA，称为事件A发生的 频数 \color{blue}{频数} 频数，比值 n A n \frac{n_A}{n} nnA称为事件A发生的 频率 \color{blue}{频率} 频率，并记作 f n ( A ) f_n(A) fn(A)。
2.基本性质：
①0 ⩽ \leqslant ⩽ f n ( A ) f_n(A) fn(A)$\leqslant$1；
② f n ( S ) f_n(S) fn(S) = 1；
③若 A 1 ， A 2 , ... , A n A_1，A_2,...,A_n A1，A2,...,An为两两互不相容事件，则有
f ( A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n ) = f ( A 1 ) + f ( A 2 ) + ... + f ( A n ) f(A_1∪A_2∪...∪A_n) = f(A_1) + f(A_2) + ... + f(A_n) f(A1∪A2∪...∪An)=f(A1)+f(A2)+...+f(An)；
④当n → ∞ \to ∞ →∞时， f n ( A ) → f_n(A)\to fn(A)→常数。（频率稳定性 or统计规律性）
1.3.3 概率的公理性定义
1.Def：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为 P （ A ） P（A） P（A）（A的概率）。它满足以下三个条件：
①非负性：对任意事件A，有P（A）$\geqslant$0;
②规范性：必然事件S，P（S）=1；
③可列可加性：若 A 1 , A 2 , ... , A n , ... A_1,A_2,...,A_n,... A1,A2,...,An,...为两两互不相容事件，则
P ( A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n ∪ ... ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + ... + P ( A n ) + ... P(A_1∪A_2∪...∪A_n∪...) = P(A_1) + P(A_2) + ... + P(A_n) + ... P(A1∪A2∪...∪An∪...)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)+...
2.重要性质：
①P（∅）=0；
②有限可加性：若 A 1 ， A 2 , ... , A n A_1，A_2,...,A_n A1，A2,...,An为两两互不相容事件，则有
P ( A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + ... + P ( A n ) P(A_1∪A_2∪...∪A_n) = P(A_1) + P(A_2) + ... + P(A_n) P(A1∪A2∪...∪An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)；
③设A、B是两个事件，且A⊂B，则有
P（A） ⩽ \leqslant ⩽P（B），P（B - A）= P（B）- P（A）；（单调性）
推论 : \color{red}{推论:} 推论:对任意两个事件A、B，有 P ( B − A ) = P ( B ) − P ( A B ) \color{blue}{P(B - A)=P(B)-P(AB)} P(B−A)=P(B)−P(AB)
④对任一事件A，有
P（A）$\leqslant$1；
⑤逆事件的概率：对任意事件A，有
P ( A ˉ ) = 1 − P ( A ) P(\bar{A}) = 1 - P(A) P(Aˉ)=1−P(A);
⑥加法公式：对任意俩事件A、B，有
P（A ∪ B）=P（A）+ P（B）- P（AB）
推广 : \color{red}{推广:} 推广:a.半可加性：P（A ∪ B） ⩽ \leqslant ⩽P（A）+ P（B）
b.三个事件：
P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）- P（AB）- P（AC）- P（BC）+P（ABC）
c.n个事件：
P ( A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) − ∑ 1 ⩽ i < j ⩽ n P ( A i A j ) + ∑ 1 ⩽ i < j < k ⩽ n P ( A i A j A k ) + ... + ( − 1 ) n − 1 P ( A 1 A 2 ... A n ) P(A_1∪A_2∪...∪A_n)=\sum\limits_{i=1}^nP(A_i)-\sum\limits_{1\leqslant{i}<j\leqslant{n}}P(A_iA_j)+\sum\limits_{1\leqslant{i}<j<k\leqslant{n}}P(A_iA_jA_k)+...+(-1)^{n-1}P(A_1A_2...A_n) P(A1∪A2∪...∪An)=i=1∑nP(Ai)−1⩽i<j⩽n∑P(AiAj)+1⩽i<j<k⩽n∑P(AiAjAk)+...+(−1)n−1P(A1A2...An)
⑦减法公式：设A、B为任意两个事件，则
P（A B ˉ \bar{B} Bˉ） = P（A-B）=P（A）-P（AB）
1.4 古典概型（等可能概型）
1.4.1 中学概率知识
1.加法原理：设完成一件事有n类方法（只需其中一类方法即可完成事情），若第k类方法有 m k m_k mk种方法（1 ⩽ \leqslant ⩽k ⩽ \leqslant ⩽n），则完成这件事总共有 N = m 1 + m 2 + ... + m n \color{red}{N = m_1+m_2+...+m_n} N=m1+m2+...+mn种方法。
2.乘法原理：设完成一件事有n个步骤（当且仅当n个步骤全部完成），若第k个步骤有 m k m_k mk种方法（1 ⩽ \leqslant ⩽k ⩽ \leqslant ⩽n），则完成这件事总共有 N = m 1 × m 2 × ... × m n \color{red}{N = m_1\times m_2\times ...\times m_n} N=m1×m2×...×mn种方法。
3.排列：
①不同元素的选排列：从n个不同元素中任取m（m ⩽ \leqslant ⩽n）个按一定顺序排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的选排列，共有 P n m P{^m_n} Pnm种。当m=n时，称为全排列，共有n！种。（0！=1）
P n m = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ ( n − m + 1 ) = n ! ( n − m ) ! = A n m P{^m_n}=n(n-1)(n-2)\cdots\quad(n-m+1)=\dfrac{n!}{(n-m)!}=A{^m_n} Pnm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)=(n−m)!n!=Anm
②不同元素的重复排列：从n个不同元素种又放回的取m（m ⩽ \leqslant ⩽n）个进行排列，其排列总数共有 n × n × ... × n = n m \color{red}{n\times n\times ...\times n=n^m} n×n×...×n=nm种。
③不全相异元素的排列：在n个元素中，有m类元素，每类各有 k 1 , k 2 , ... , k m k_1,k_2,...,k_m k1,k2,...,km个，将这n个元素做全排列，共有如下种方式：
N= n ! k 1 ! k 2 ! ... k n ! \dfrac{n!}{k_1!k_2!...k_n!} k1!k2!...kn!n!
④环排列：从n个不同的元素中，选出m个不同的元素排成一个圈，共有如下种方式：
n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ... ( n − m + 1 ) m = C n m ( m − 1 ) ! \dfrac{n(n-1)(n-2)...(n-m+1)}{m}=C{^m_n}(m-1)! mn(n−1)(n−2)...(n−m+1)=Cnm(m−1)!
4.组合：
①从n个元素中取出m个（ 不放回抽样 \color{blue}{不放回抽样} 不放回抽样）组成一组，不同的分发方式共有：
( n m ) = C n m = n ! m ! ( n − m ) ! = P n m m ! \begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}=C{^m_n}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}=\dfrac{P{^m_n}}{m!} (nm)=Cnm=m!(n−m)!n!=m!Pnm
②从n个元素中取出m个（ 放回抽样 \color{blue}{放回抽样} 放回抽样）组成一组，不同的分发方式共有：
H n m = ( n + m − 1 m ) H{^m_n}=\begin{pmatrix}n+m-1\\m\end{pmatrix} Hnm=(n+m−1m)
1.4.2 古典概型
1.Def：若随机试验E满足：
（1）样本空间S只含有限个样本点，S={ e 1 , e 2 , ... , e n e_1,e_2,...,e_n e1,e2,...,en};
（2）每个基本事件（样本点）发生的可能性相同；
则称此随机试验的概率模型为等可能概型，又称古典概型。
2.古典概型中，事件A={ e i 1 , e i 2 , ... , e i k e_{i1},e_{i2},...,e_{ik} ei1,ei2,...,eik}发生的概率为
P ( A ) = k n = A 包含的基本事件数 S 包含的基本事件总数 P(A)=\dfrac{k}{n}=\dfrac{A包含的基本事件数}{S包含的基本事件总数} P(A)=nk=S包含的基本事件总数A包含的基本事件数
1.4.3 古典概型基本模型
1.4.3.1 分球模型
1.无放回摸球（不放回抽样）：
2.有放回的摸球（放回抽样）：
1.4.3.2 分球入盒模型
1.盒子容量无限：
2.每个盒子只能装一个球：
3.综合例题：
1.4.3.3 分组问题
1.4.3.4 超几何分布
1.Def：设有N件产品，其中有D件次品，今从中任取n件，问其中恰有k（ k ⩽ N k\leqslant N k⩽N）件次品的概率为：
p = ( D k ) = ( N − D n − k ) / ( N n ) p=\begin{pmatrix}D\\k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}N-D\\n-k\end{pmatrix}/\begin{pmatrix}N\\n\end{pmatrix} p=(Dk)=(N−Dn−k)/(Nn)
附 : 实际推断原理 : 概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的。 \color{blue}{附:实际推断原理:概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的。} 附:实际推断原理:概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的。
1.4.4 几何概型（等可能概型）
1.Def：若随机试验E满足：
①样本空间S是 R n R^n Rn（n=1，2，3）中一个可度量的几何区域；
②每个样本点出现的概率相等，即样本点落入S某一可度量的子区域A的可能性大小与A的几何度量成正比，而与A的位置及形状无关，则事件A={样本点落入区域A}的概率为：
P ( A ) = A 的几何度量 ( 长度、面积、体积 ) S 的几何度量 ( 长度、面积、体积 ) P(A)=\dfrac{A的几何度量(长度、面积、体积)}{S的几何度量(长度、面积、体积)} P(A)=S的几何度量(长度、面积、体积)A的几何度量(长度、面积、体积)
注意！ \color{red}{注意！} 注意！ ①古典概型：基本事件有限，等可能的随机试验。
②几何概型：基本事件无限，等可能的随机试验。
1.5 条件概率
1.5.1 条件概率
1.Def：设A、B是两个事件，且 P ( A ) > 0 P(A)>0 P(A)>0，称
P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)} P(B∣A)=P(A)P(AB)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。
注意：这里样本空间已经从 S 坍塌到 A 了，样本空间减小。 \color{red}{注意：这里样本空间已经从S坍塌到A了，样本空间减小。} 注意：这里样本空间已经从S坍塌到A了，样本空间减小。
2.条件概率满足条件（也是概率）
已知事件A发生且P（A）>0
-
非负性：对于每一件事件B，有 P ( B ∣ A ) ⩾ 0 P(B|A)\geqslant0 P(B∣A)⩾0。
-
规范性：对于必然事件S，有 P ( S ∣ A ) = 1 P(S|A)=1 P(S∣A)=1。
-
可列可加性：设 B 1 , B 2 , ... B_1,B_2,... B1,B2,...是两两互不相容事件，则有
P ( ⋃ i = 1 ∞ B i ∣ A ) = ∑ i = 1 ∞ P ( B i ∣ A ) P(\quad\bigcup\limits_{i=1}^∞B_i|A\quad) =\sum\limits_{i=1}^∞P(B_i|A) P(i=1⋃∞Bi∣A)=i=1∑∞P(Bi∣A)
3.条件概率的性质：当P（A）> 0时
- P ( B ∣ A ) ⩾ 0 P(B|A)\geqslant 0 P(B∣A)⩾0
- 有限可加性： P ( ⋃ i = 1 n B i ∣ A ) = ∑ i = 1 n P ( B i ∣ A ) P(\quad\bigcup\limits_{i=1}^nB_i|A\quad) =\sum\limits_{i=1}^nP(B_i|A) P(i=1⋃nBi∣A)=i=1∑nP(Bi∣A)
- P ( S ∣ A ) = 0 , P ( ∅ ∣ A ) = 0 P(S|A)=0,P(∅|A)=0 P(S∣A)=0,P(∅∣A)=0
- 加法公式: P ( B ∪ C ∣ A ) = P ( B ∣ A ) + P ( C ∣ A ) − P ( B C ∣ A ) P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)-P(BC|A) P(B∪C∣A)=P(B∣A)+P(C∣A)−P(BC∣A)
- 当B、C互不相容时， P ( B ∪ C ∣ A ) = P ( B ∣ A ) + P ( C ∣ A ) P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A) P(B∪C∣A)=P(B∣A)+P(C∣A)
- 可减性： P ( B − C ∣ A ) = P ( B ∣ A ) − P ( B C ∣ A ) P(B-C|A)=P(B|A)-P(BC|A) P(B−C∣A)=P(B∣A)−P(BC∣A)
- P ( B ˉ ∣ A ) = 1 − P ( B ∣ A ) P(\bar{B}|A)=1-P(B|A) P(Bˉ∣A)=1−P(B∣A)
1.5.2 乘法定理
1.Def：设P（A）> 0，P（B）> 0 ，则有
P ( A B ) = P ( B ∣ A ) P ( A ) = P ( A ∣ B ) P ( B ) P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A|B)P(B) P(AB)=P(B∣A)P(A)=P(A∣B)P(B)
称为乘法公式。
2.推广
- 三个事件A、B、C，且P（AB）> 0[ P ( A ) ⩾ P ( A B ) > 0 P(A)\geqslant P(AB) > 0 P(A)⩾P(AB)>0].
P ( A B C ) = P ( C ∣ A B ) P ( B ∣ A ) P ( A ) P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A) P(ABC)=P(C∣AB)P(B∣A)P(A)
- n（ n ⩾ 2 n\geqslant2 n⩾2）个事件 A 1 , A 2 , ... A n A_1,A_2,...A_n A1,A2,...An，且 P ( A 1 A 2 ... A n − 1 ) > 0 P(A_1A_2...A_{n-1}) > 0 P(A1A2...An−1)>0，则有
P ( A 1 A 2 ... A n ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 2 A 1 ) ... P ( A n ∣ A n − 1 ... A 2 A 1 ) P(A_1A_2...A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_2A_1)...P(A_n|A_{n-1}...A_2A_1) P(A1A2...An)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A2A1)...P(An∣An−1...A2A1)
- 注意事件发生的先后次序， A i A_i Ai先于 A i + 1 A_{i+1} Ai+1发生，可用上式。
3.先验概率 & 后验概率
- 由以往的数据分析得到的概率叫 先验概率 \color{red}{先验概率} 先验概率。
- 加入新数据后重新修正得到的概率叫 后验概率 \color{red}{后验概率} 后验概率。
1.5.3 全概率公式 & 贝叶斯公式
1.5.3.1 全概率公式（由因求果）
1.样本空间划分：设S为试验E的样本空间， B 1 , B 2 , ... , B n B_1,B_2,...,B_n B1,B2,...,Bn为E的一组事件，若
- B i B j = B_iB_j= BiBj=∅， i ≠ j , i , j = 1 , 2 , ... , n i ≠ j, i,j=1,2,...,n i=j,i,j=1,2,...,n
- B 1 ∪ B 2 ∪ ... ∪ B n = S B_1∪B_2∪...∪B_n=S B1∪B2∪...∪Bn=S
则称 B 1 , B 2 , ... , B n B_1,B_2,...,B_n B1,B2,...,Bn为样本空间S的一个划分（也叫完备事件集）。
注意 : \color{red}{注意:} 注意:①若 B 1 , B 2 , ... , B n B_1,B_2,...,B_n B1,B2,...,Bn为样本空间S的一个划分，则对每次试验，事件 B 1 , B 2 , ... , B n B_1,B_2,...,B_n B1,B2,...,Bn中必有一个且仅有一个发生。
②样本空间的划分一般不唯一。
2.全概率公式：设试验E的样本空间为S，A为E的事件， B 1 , B 2 , ... , B n B_1,B_2,...,B_n B1,B2,...,Bn为S的一个划分，且 P ( B i ) > 0 ( i = 1 , 2 , ... , n ) P(B_i)>0(i=1,2,...,n) P(Bi)>0(i=1,2,...,n)，则
P ( A ) = P ( A ∣ B 1 ) P ( B 1 ) + P ( A ∣ B 2 ) P ( B 2 ) + ... + P ( A ∣ B n ) P ( B n ) = ∑ i = 1 n P ( A ∣ B i ) P ( B i ) P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+...+P(A|B_n)P(B_n)=\sum_{i=1}^nP(A|B_i)P(B_i) P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+...+P(A∣Bn)P(Bn)=i=1∑nP(A∣Bi)P(Bi)
1.5.3.2 贝叶斯公式（由果导因）
1.Def：设试验E的样本空间为S。A为E的事件， B 1 , B 2 , ... , B n B_1,B_2,...,B_n B1,B2,...,Bn为S的一组划分，且P（A）> 0， P ( B i ) > 0 ( i = 1 , 2 , ... , n ) P(B_i)>0(i=1,2,...,n) P(Bi)>0(i=1,2,...,n)，则
P ( B i ∣ A ) = P ( A ∣ B i ) P ( B i ) ∑ i = 1 n P ( A ∣ B i ) P ( B i ) P(B_i|A)=\dfrac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum\limits_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)} P(Bi∣A)=i=1∑nP(A∣Bi)P(Bi)P(A∣Bi)P(Bi)
称为贝叶斯公式。
2.全概率 & 贝叶斯
取n=2，并将 B 1 B_1 B1记为 B B B， B 2 B_2 B2记为$ \bar{B}$，则全概率公式和贝叶斯公式可以写成：
P ( A ) = P ( A ∣ B ) P ( B ) + P ( A ∣ B ˉ ) P ( B ˉ ) ------全概率公式 P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|\bar{B})P(\bar{B})------全概率公式 P(A)=P(A∣B)P(B)+P(A∣Bˉ)P(Bˉ)------全概率公式
P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) = P ( A ∣ B ) P ( B ) P ( A ∣ B ) P ( B ) + P ( A ∣ B ˉ ) P ( B ˉ ) ------贝叶斯公式 P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}=\dfrac{P(A|B)P(B)}{P(A|B)P(B)+P(A|\bar{B})P(\bar{B})}------贝叶斯公式 P(B∣A)=P(A)P(AB)=P(A∣B)P(B)+P(A∣Bˉ)P(Bˉ)P(A∣B)P(B)------贝叶斯公式
1.6 独立性
1.6.1 描述性定义
- 设A、B为两个事件，如果其中任何一个事件发生的概率不受另一个事件发生与否的影响，则称事件A与B相互独立。
P ( B ∣ A ) = P ( B ) , P ( B ∣ A ˉ ) = P ( B ) , P ( A ∣ B ) = P ( A ) , P ( A ∣ B ˉ ) = P ( A ) P(B|A)=P(B),P(B|\bar{A})=P(B),P(A|B)=P(A),P(A|\bar{B})=P(A) P(B∣A)=P(B),P(B∣Aˉ)=P(B),P(A∣B)=P(A),P(A∣Bˉ)=P(A)
1.6.2 数学定义
1.Def：设A、B是两事件，如果满足等式：
P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B)
则称事件A、B相互独立 ，简称A、B独立。
- 注意！ \color{red}{注意！} 注意！
- 与事件中的包含、相等、相容、对立关系不同，独立是从概率角度定义的。
- 互相独立 & 互不相容之间没有不然联系。特殊地，在 P ( A ) > 0 , P ( B ) > 0 P(A)>0,P(B)>0 P(A)>0,P(B)>0时，A、B相互独立与A、B互不相容不能同时成立。
- 互相独立： P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) > 0 P(AB)=P(A)P(B)>0 P(AB)=P(A)P(B)>0
- 互不相容： P ( A B ) = P ( ∅ ) = 0 P(AB)=P(\varnothing)=0 P(AB)=P(∅)=0
- 必然事件 及 不可能事件与任意事件互相独立。
3.定理
-
设A、B是两事件，且 P ( A ) > 0. P(A)>0. P(A)>0.若A、B相互独立，则 P ( B ∣ A ) = P ( B ) P(B|A)=P(B) P(B∣A)=P(B)，反之亦然。
-
若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：
A 与 B ˉ , A ˉ 与 B , A ˉ 与 B ˉ A与\bar{B},\bar{A}与B,\bar{A}与\bar{B} A与Bˉ,Aˉ与B,Aˉ与Bˉ
1.6.3 多个事件的独立性
1.三个事件两两独立
Def：设A、B、C是三个事件，如果满足等式：
{ P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P ( B C ) = P ( B ) P ( C ) P ( A C ) = P ( A ) P ( C ) \begin{cases} P(AB)=P(A)P(B)\\ P(BC)=P(B)P(C)\\ P(AC)=P(A)P(C) \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)
则称事件A、B、C两两独立。
2.三个事件相互独立
Def：设A、B、C是三个事件，如果满足等式：
{ P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P ( B C ) = P ( B ) P ( C ) P ( A C ) = P ( A ) P ( C ) P ( A B C ) = P ( A ) P ( B ) P ( C ) \begin{cases} P(AB)=P(A)P(B)\\ P(BC)=P(B)P(C)\\ P(AC)=P(A)P(C)\\ P(ABC)=P(A)P(B)P(C) \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧P(AB)=P(A)P(B)P(BC)=P(B)P(C)P(AC)=P(A)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
则称事件A、B、C相互独立。
3.联系
- 相互独立 ⇒ \Rightarrow ⇒两两独立，反之不成立。
4.推广：n个事件的独立性
-
Def：一般设 A 1 , A 2 , ... , A n A_1,A_2,...,A_n A1,A2,...,An是 n ( n ⩾ 2 ) n(n\geqslant2) n(n⩾2)个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，...，任意n个事件的积事件的概率，都等于个事件概率之和，则称事件 A 1 , A 2 , ... , A n A_1,A_2,...,A_n A1,A2,...,An相互独立。
- 共 C n 2 + C n 3 + ... + C n n = 2 n − n − 1 C^2_n+C^3_n+...+C^n_n=2^n-n-1 Cn2+Cn3+...+Cnn=2n−n−1个等式成立。
-
推论：
- 若事件 A 1 , A 2 , ... , A n ( n ⩾ 2 ) A_1,A_2,...,A_n(n\geqslant2) A1,A2,...,An(n⩾2)相互独立，则其中任意 k ( 2 ⩽ k ⩽ n ) k(2\leqslant k\leqslant n) k(2⩽k⩽n)个事件也是相互独立的。
- 若事件 A 1 , A 2 , ... , A n ( n ⩾ 2 ) A_1,A_2,...,A_n(n\geqslant2) A1,A2,...,An(n⩾2)相互独立，则将事件 A 1 , A 2 , ... , A n A_1,A_2,...,A_n A1,A2,...,An中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。
1.6.4 独立性判断
1.直观性判断：
- 若试验独立，则其结果必然独立。
- 根据事件的实际意义取判断。
2.利用上述定义 及 定理判断。
1.6.5 独立重复试验
1.定义（独立试验序列）
设 E i ( i = 1 , 2 , ... ) {E_i}(i=1,2,...) Ei(i=1,2,...)是一列随机试验， E i E_i Ei的样本空间Ω i _i i，设 A k A_k Ak是 E k E_k Ek中的任一事件， A k ⊂ A_k \subset Ak⊂Ω k _k k，若 A k A_k Ak出现的概率都不依赖于其它各次试验 E i ( i ≠ k ) E_i(i\neq k) Ei(i=k)的结果，则称 E i {E_i} Ei是 相互独立 \color{red}{相互独立} 相互独立的随机试验序列，简称 独立试验 \color{red}{独立试验} 独立试验序列。
2.n 重贝努里（Bernoulli）试验
若n次重复试验具有下列特点：
- 每次试验的可能结果只有两个 A 、 A ˉ A、\bar{A} A、Aˉ，且 P ( A ) = p , P ( A ˉ = 1 − p ) P(A)=p,P(\bar{A}=1-p) P(A)=p,P(Aˉ=1−p)（在各次试验中p是常数，保持不变）；
- 各次试验的结果相互独立。
则称这n次重复试验为 n 重贝努利（ B e r n o u l l i ）试验 \color{blue}{n 重贝努利（Bernoulli）试验} n重贝努利（Bernoulli）试验，简称为 贝努里概型 \color{red}{贝努里概型} 贝努里概型。
- B e r n o u l l i Bernoulli Bernoulli定理：
在n 重贝努里试验中，事件A发生的概率为p，则事件A发生k次的概率为：
b ( k ; n , p ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k , k = 0 , 1 , 2 , ... , n b(k;n,p)=C^k_np^k(1-p)^{n-k},k=0,1,2,...,n b(k;n,p)=Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,2,...,n
E_i}(i=1,2,...) 是一列随机试验， 是一列随机试验， 是一列随机试验，E_i 的样本空间 Ω 的样本空间Ω 的样本空间Ω_i ，设 ，设 ，设A_k 是 是 是E_k 中的任一事件， 中的任一事件， 中的任一事件，A_k \subset Ω Ω Ω_k ，若 ，若 ，若A_k 出现的概率都不依赖于其它各次试验 出现的概率都不依赖于其它各次试验 出现的概率都不依赖于其它各次试验E_i(i\neq k) 的结果，则称 的结果，则称 的结果，则称{E_i} 是 是 是\color{red}{相互独立} 的随机试验序列，简称 的随机试验序列，简称 的随机试验序列，简称\color{red}{独立试验}$序列。
2.n 重贝努里（Bernoulli）试验
若n次重复试验具有下列特点：
- 每次试验的可能结果只有两个 A 、 A ˉ A、\bar{A} A、Aˉ，且 P ( A ) = p , P ( A ˉ = 1 − p ) P(A)=p,P(\bar{A}=1-p) P(A)=p,P(Aˉ=1−p)（在各次试验中p是常数，保持不变）；
- 各次试验的结果相互独立。
则称这n次重复试验为 n 重贝努利（ B e r n o u l l i ）试验 \color{blue}{n 重贝努利（Bernoulli）试验} n重贝努利（Bernoulli）试验，简称为 贝努里概型 \color{red}{贝努里概型} 贝努里概型。
- B e r n o u l l i Bernoulli Bernoulli定理：
在n 重贝努里试验中，事件A发生的概率为p，则事件A发生k次的概率为：
b ( k ; n , p ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k , k = 0 , 1 , 2 , ... , n b(k;n,p)=C^k_np^k(1-p)^{n-k},k=0,1,2,...,n b(k;n,p)=Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,2,...,n