数据结构从入门到精通——二叉树的实现

鲜于言悠9052024-03-22 10:30

二叉树的实现

前言

二叉树是一种常见的数据结构，每个节点最多有两个子节点，通常称为左子节点和右子节点。实现二叉树通常涉及定义节点类（包含数据和指向子节点的指针）以及相应的插入、删除和查找操作。遍历二叉树则是访问其所有节点的过程，常见的遍历方式有前序遍历（根-左-右）、中序遍历（左-根-右）和后序遍历（左-右-根）。这些遍历方法可以递归或迭代实现，对于理解二叉树结构和操作非常重要。

一、二叉树链式结构的实现

1.1前置说明

在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在各位读者对二叉树结构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。

1.2二叉树的手动创建

c 复制代码 
typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
 	BTDataType _data;
 	struct BinaryTreeNode* _left;
 	struct BinaryTreeNode* _right;
}BTNode;
 
BTNode* CreatBinaryTree()
{
 	BTNode* node1 = BuyNode(1);
 	BTNode* node2 = BuyNode(2);
 	BTNode* node3 = BuyNode(3);
 	BTNode* node4 = BuyNode(4);
 	BTNode* node5 = BuyNode(5);
 	BTNode* node6 = BuyNode(6);
 
 	node1->_left = node2;
 	node1->_right = node4;
 	node2->_left = node3;
 	node4->_left = node5;
 	node4->_right = node6;
 	return node1;
}

注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式见下文

再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念，二叉树是：

  1. 空树
  2. 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的。

从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

二、二叉树的遍历

2.1 前序、中序以及后序遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。

按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：

  1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)------访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
  2. 中序遍历(Inorder Traversal)------访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。
  3. 后序遍历(Postorder Traversal)------访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

c 复制代码 
// 二叉树前序遍历 
void PreOrder(BTNode* root);
// 二叉树中序遍历
void InOrder(BTNode* root);
// 二叉树后序遍历
void PostOrder(BTNode* root);

二叉树前序遍历

c 复制代码 
// 二叉树前序遍历 
void PreOrder(BTNode* root);
c 复制代码 
void PreOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL->");
		return;
	}
	printf("%d->", root->val);
	PreOrder(root->left);
	PreOrder(root->right);
}

二叉树中序遍历

c 复制代码 
// 二叉树中序遍历
void InOrder(BTNode* root);
c 复制代码 
void InOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL->");
		return;
	}
	InOrder(root->left);
	printf("%d->", root->val);
	InOrder(root->right);
}

二叉树后序遍历

c 复制代码 
// 二叉树后序遍历
void PostOrder(BTNode* root);
c 复制代码 
void PostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL->");
		return;
	}
	PostOrder(root->left);
	PostOrder(root->right);
	printf("%d->", root->val);
}

下面主要分析前序递归遍历，中序与后序图解类似。

前序遍历递归图解：

c 复制代码 
前序遍历结果：1 2 3 4 5 6
中序遍历结果：3 2 1 5 4 6
后序遍历结果：3 2 5 6 4 1

2.2 层序遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

c 复制代码 
// 层序遍历
void LevelOrder(BTNode* root);

使用队列的形式来实现层序遍历------队列

c 复制代码 
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	if(root)QueuePush(&q, root);
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		if (front)
		{
			printf("%c ", front->val);
			QueuePush(&q, front->left);
			QueuePush(&q, front->right);
		}
		else
		{
			printf(" N ");
		}
	}
	printf("\n");
	QueueDestroy(&q);
}

层序遍历（也称为广度优先遍历）是一种树的遍历方法，它按照树的层次顺序访问节点。具体来说，从根节点开始，先访问所有相邻的子节点，然后逐层向下遍历，每访问一层的节点，就转向下一层，直到遍历完所有节点。这种遍历方法常用于二叉树、多叉树和图等数据结构。在二叉树中，通常使用队列来实现层序遍历，首先将根节点入队，然后不断从队列中出队节点并访问，同时将该节点的子节点入队，直到队列为空。层序遍历的时间复杂度通常为O(n)，其中n为节点数，空间复杂度取决于队列的大小，最坏情况下为O(n)。

练习

请写出下面的前序/中序/后序/层序遍历

三、二叉树的具体代码实现

二叉树的节点个数

c 复制代码 
// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root);
c 复制代码 
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)return 0;
	return BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}

该段代码定义了一个名为BinaryTreeSize的函数，用于计算二叉树中节点的总数。函数接受一个指向二叉树根节点的指针root作为参数。如果root为空，则返回0；否则，递归计算左子树和右子树的节点数，并将它们相加，再加上根节点本身，最终返回整个二叉树的节点总数。

二叉树是每个节点最多有两个子节点的树结构，通常子节点被称为"左子节点"和"右子节点"。二叉树的节点个数是指树中所有节点的总数，包括根节点、内部节点（非叶子节点）和叶子节点。计算二叉树的节点个数可以通过遍历树的所有节点来实现，例如使用前序遍历、中序遍历或后序遍历等方法。在遍历过程中，每访问一个节点，就将计数器加1，最终计数器的值就是二叉树的节点个数。此外，对于完全二叉树和满二叉树等特殊类型的二叉树，其节点个数可以通过特定的公式直接计算得出。

二叉树叶子节点个数

c 复制代码 
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root);
c 复制代码 
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)return 0;
	if (root->left == NULL && root->right == NULL)return 1;
	return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}

该函数BinaryTreeLeafSize计算二叉树的叶子节点数量。如果根节点为空，返回0；如果根节点是叶子节点（即没有左右子节点），返回1；否则，递归计算左子树和右子树的叶子节点数量并返回它们的和。

二叉树的叶子节点是指没有子节点的节点。要计算二叉树的叶子节点个数，可以采用递归或迭代的方法。递归方法的基本思路是，对于每个节点，如果它是叶子节点，则计数加1；否则，递归计算其左右子树的叶子节点个数并相加。迭代方法则可以利用队列或栈等数据结构，层次遍历或深度优先遍历二叉树，统计叶子节点的个数。无论采用哪种方法，最终得到的叶子节点个数即为二叉树的叶子节点总数。

二叉树第k层节点个数

c 复制代码 
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
c 复制代码 
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{
	assert(k > 0);
	if (root == NULL)return 0;
	if (k == 1)return 1;
	return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

该函数BinaryTreeLevelKSize计算了二叉树中第k层的节点数量。首先，它检查k是否大于0并确认根节点root是否存在。如果root为空，则返回0。如果k等于1，表示要求的是第一层的节点数，直接返回1。否则，它递归地对左子树和右子树调用自身，计算第k-1层的节点数，然后将这两个结果相加得到第k层的节点数。

二叉树第k层的节点个数可以通过递归或迭代方法计算。在递归方法中，对于给定的二叉树，我们首先检查根节点是否为空。如果为空，则树为空，返回0。否则，我们递归地计算左子树和右子树的第k-1层节点数，并将它们相加得到第k层的节点数。在迭代方法中，我们使用队列进行层序遍历，记录每一层的节点数，直到找到第k层或遍历完整个树。最终，返回第k层的节点数。这两种方法的时间复杂度均为O(n)，其中n为二叉树中节点的总数。

二叉树查找值为x的节点

c 复制代码 
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);
c 复制代码 
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
	if (root == NULL)return NULL;
	if (root->val == x)return root;
	BTNode* left = BinaryTreeFind(root->left, x);
	if (left)
		return left;
	BTNode* right = BinaryTreeFind(root->right, x);
	if (right)
		return right;
	return NULL;
}

该函数是一个在二叉树中查找指定值的函数。它接受一个二叉树的根节点和一个要查找的值x作为参数。如果根节点为空，则返回NULL。如果根节点的值与x相等，则返回根节点。否则，它递归地在左子树和右子树中查找x。如果在左子树或右子树中找到x，则返回对应的节点。如果在整棵树中都没有找到x，则返回NULL。

二叉树的销毁

二叉树的构建及遍历

c 复制代码 
//二叉树销毁 
 void Binary Tree Destory (BTNode** root) ;
c 复制代码 
void BinaryTreeDestroy(BTNode** root)
{
	if ((*root) == NULL)return;
	BinaryTreeDestroy(&(*root)->left);
	BinaryTreeDestroy(&(*root)->right);
	free(*root);
	*root = NULL;
}

该函数BinaryTreeDestroy是一个用于销毁二叉树的递归函数。它接受一个指向二叉树根节点指针的指针root。首先，它检查根节点是否为空，如果为空则直接返回。否则，它递归地销毁左子树和右子树，然后释放根节点的内存，并将根节点指针设置为NULL，从而完成整个二叉树的销毁。

二叉树的创建

c 复制代码 
// 通过前序遍历的数组" A B D # # E # H # # C F # # G # # " 构建二叉树
 BTNode* Binary TreeCreate(BTDataType* a,int n,int* pi) ;
c 复制代码 
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* pi)
{
	if (a == NULL || n <= 0)return NULL;
	if (a[*pi] == ' ')
	{
		(*pi)++;
		return NULL;
	}
	BTNode* root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	root->val = a[(*pi)++];
	root->left = BinaryTreeCreate(a, n, pi);
	root->right = BinaryTreeCreate(a, n, pi);
	return root;
}

该段代码实现了一个二叉树的创建函数。它接收三个参数：一个数据类型数组a，一个整数n表示数组长度，以及一个整数指针pi指向数组中当前要处理的元素索引。函数首先检查输入是否有效，若数组为空或n小于等于0，则返回NULL。若当前元素为空格，则递增索引并返回NULL。否则，创建一个新的二叉树节点，将当前元素赋值给节点的值，并递归地创建左右子树。最后返回新创建的根节点。

判断二叉树是否是完全二叉树

c 复制代码 
// 判断二叉树是否是完全二叉树
bool BinaryTreeComplete(BTNode* root);
c 复制代码 
bool BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	if (root)QueuePush(&q, root);
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		if (front)
		{
			printf("%c ", front->val);
			QueuePush(&q, front->left);
			QueuePush(&q, front->right);
		}
		while (!QueueEmpty(&q))
		{
			BTNode* front = QueueFront(&q);
			if (front)
			{
				QueueDestroy(&q);
				return false;
			}
		}
	}
	QueueDestroy(&q);
	return true;
}

此函数BinaryTreeComplete检查给定的二叉树root是否是完全二叉树。它使用一个队列q进行层序遍历。首先，如果根节点存在，则将其入队。然后在队列不为空的情况下，反复取出队首节点并打印其值，然后将它的左右子节点入队。如果在遍历过程中发现队列中出现了空节点，则立即销毁队列并返回false，因为完全二叉树在层序遍历中不应出现空节点。如果遍历结束，即队列为空，且没有发现空节点，则销毁队列并返回true，说明是完全二叉树。

四、二叉树的选择练习题

  1. 某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为（ ）
    A、 ABDHECFG
    B、 ABCDEFGH
    C、 HDBEAFCG
    D、 HDEBFGCA
  2. 二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为（ ）
    A 、E
    B、 F
    C、 G
    D、 H
  3. 设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列____。
    A、 adbce
    B 、decab
    C、 debac
    D、 abcde
  4. 某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出（同一层从左到右）的序列为( )
    A 、FEDCBA
    B、 CBAFED
    C、 DEFCBA
    D、 ABCDEF

答案

1.A

2.A

3.D

4.A

五、二叉树基础oj练习

  1. 单值二叉树
  2. 检查两颗树是否相同
  3. 对称二叉树
  4. 二叉树的前序遍历
  5. 二叉树中序遍历
  6. 二叉树的后序遍历
  7. 另一颗树的子树

六、二叉树的完整代码

Tree.h

c 复制代码 
#pragma once
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>
#include <assert.h>

typedef char BTDataType;

typedef struct BinaryTreeNode
{
	BTDataType val;
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;

}BTNode;
typedef BTNode* QDatatype;
typedef struct QueueNode
{
	QDatatype val;
	struct QueueNode* next;
}QNode;

typedef struct Queue
{
	QNode* phead;
	QNode* ptail;
	int size;
}Queue;
//队列的初始化
void QueueInit(Queue* pq);
//队列的销毁
void QueueDestroy(Queue* pq);

//入队列
void QueuePush(Queue* pq, QDatatype x);
//出队列
void QueuePop(Queue* pq);

//队头元素
QDatatype QueueFront(Queue* pq);
//队尾元素
QDatatype QueueBack(Queue* pq);

//检测是否为空
bool QueueEmpty(Queue* pq);

//检测元素个数
int QueueSize(Queue* pq);

//创建二叉树
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* pi);

//二叉树的销毁
void BinaryTreeDestroy(BTNode** root);

// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root);
// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root);
// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);
// 二叉树前序遍历 
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root);
// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root);
// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root);
// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root);
// 判断二叉树是否是完全二叉树
bool BinaryTreeComplete(BTNode* root);

Tree.c

c 复制代码 
#include "Tree.h"
void QueueInit(Queue* pq)
{
	assert(pq);
	pq->phead = NULL;
	pq->ptail = NULL;
	pq->size = 0;
}
void QueueDestroy(Queue* pq)
{
	assert(pq);
	QNode* cur = pq->phead;
	while (cur)
	{
		QNode* next = cur->next;
		free(cur);
		cur = next;
	}
	pq->phead = NULL;
	pq->ptail = NULL;
	pq->size = 0;
}
void QueuePush(Queue* pq, QDatatype x)
{
	assert(pq);
	QNode* newnode = (QNode*)malloc(sizeof(QNode));
	if (newnode == NULL)
	{
		perror("newnode malloc :");
		return;
	}
	newnode->val = x;
	newnode->next = NULL;
	if (pq->ptail)
	{
		pq->ptail->next = newnode;
		pq->ptail = newnode;
	}
	else
	{
		pq->phead = pq->ptail = newnode;
	}
	pq->size++;
}
bool QueueEmpty(Queue* pq)
{
	assert(pq);
	return pq->size == 0;
}
void QueuePop(Queue* pq)
{
	assert(pq);
	//assert(!QueueEmpty(pq));
	assert(pq->phead != NULL);
	if (pq->phead->next == NULL)
	{
		free(pq->phead);
		pq->phead = pq->ptail = NULL;
	}
	else
	{
		QNode* next = pq->phead->next;
		free(pq->phead);
		pq->phead = next;
	}
	pq->size--;
}
QDatatype QueueFront(Queue* pq)
{
	assert(pq);
	assert(pq->phead != NULL);
	return pq->phead->val;
}
QDatatype QueueBack(Queue* pq)
{
	assert(pq);
	assert(pq->ptail != NULL);
	return pq->ptail->val;
}
int QueueSize(Queue* pq)
{
	assert(pq);
	return pq->size;
}
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* pi)
{
	if (a == NULL || n <= 0)return NULL;
	if (a[*pi] == ' ')
	{
		(*pi)++;
		return NULL;
	}
	BTNode* root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	root->val = a[(*pi)++];
	root->left = BinaryTreeCreate(a, n, pi);
	root->right = BinaryTreeCreate(a, n, pi);
	return root;
}
void BinaryTreeDestroy(BTNode** root)
{
	if ((*root) == NULL)return;
	BinaryTreeDestroy(&(*root)->left);
	BinaryTreeDestroy(&(*root)->right);
	free(*root);
	*root = NULL;
}
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)return 0;
	return BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)return 0;
	if (root->left == NULL && root->right == NULL)return 1;
	return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{
	assert(k > 0);
	if (root == NULL)return 0;
	if (k == 1)return 1;
	return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
	if (root == NULL)return NULL;
	if (root->val == x)return root;
	BTNode* left = BinaryTreeFind(root->left, x);
	if (left)
		return left;
	BTNode* right = BinaryTreeFind(root->right, x);
	if (right)
		return right;
	return NULL;
}
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}
	printf("%c ", root->val);
	BinaryTreePrevOrder(root->left);
	BinaryTreePrevOrder(root->right);
}
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}
	BinaryTreeInOrder(root->left);
	printf("%c ", root->val);
	BinaryTreeInOrder(root->right);
}
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}
	BinaryTreePostOrder(root->left);
	BinaryTreePostOrder(root->right);
	printf("%c ", root->val);
}

bool BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	if (root)QueuePush(&q, root);
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		if (front)
		{
			printf("%c ", front->val);
			QueuePush(&q, front->left);
			QueuePush(&q, front->right);
		}
		while (!QueueEmpty(&q))
		{
			BTNode* front = QueueFront(&q);
			if (front)
			{
				QueueDestroy(&q);
				return false;
			}
		}
	}
	QueueDestroy(&q);
	return true;
}

Test.c

c 复制代码 
#include "Tree.h"
int main()
{
	char a[] = { 'a','b','c',' ',' ','d','e',' ','g',' ',' ','f',' ',' ',' ' };
	int pi = 0;
	BTNode* root = BinaryTreeCreate(a, sizeof(a) / sizeof(a[0]), &pi);
	BinaryTreePrevOrder(root);
	printf("\n");

	BinaryTreeInOrder(root);
	printf("\n");

	BinaryTreePostOrder(root);
	printf("\n");

	printf("TreeSize : %d\n", BinaryTreeSize(root));
	printf("TreeKLevel : %d\n", BinaryTreeLevelKSize(root, 3));

	BTNode* ret = BinaryTreeFind(root, 3);
	printf("TreeFind : %p\n", ret);
	

	BinaryTreeLevelOrder(root);
	printf("\n");
	printf("BinaryTreeComplete %d\n ", BinaryTreeComplete(root));
	BinaryTreeDestroy(&root);
	root = NULL;

	return 0;
}

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