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01背包
1、01背包暴力解法,回溯问题
c
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e2+5;
int w[N],v[N];
int ans,n,V;
void dfs(int now,int sw,int sv){
if(now==n+1){
ans=max(ans,sv);
return;
}
dfs(now+1,sw,sv);
if(sw+w[now]<=V)dfs(now+1,sw+w[now],sv+v[now]);
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
cin >> n >> V;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
cin >> w[i] >> v[i];
}
dfs(1, 0, 0);
cout<<ans;
return 0;
}
2、动态规划解法
c
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e3+5;
using ll = long long;
ll dp[N][N];// dp[i][j] 表示 第 i 件物品,j 容量,的最大价值
int n,V;
int main() {
// dp[i-1][j] //不放物品
// dp[i-1][j-w[i]]+v[i] //放物品
cin>>n>>V;
for(int i=1;i<=n;i++){
ll w,v;cin>>w>>v;
for(int j=0;j<=V;j++){
if(j>=w)dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w]+v);
else dp[i][j]=dp[i-1][j];
}
}
cout<<dp[n][V];
return 0;
}
3、01背包代码优化
c
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e3+5;
using ll = long long;
ll dp[N];
int n,V;
int main() {
// dp[j] = max(dp[j],dp[j-w]+v); //表示此时物品总重量为 j 的情况下的最大价值
cin>>n>>V;
for(int i=1;i<=n;i++){
ll w,v;cin>>w>>v;
for(int j=V;j>=w;j--){
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w]+v);
}
}
cout<<dp[V];
return 0;
}
例题:
分析:
在背包的基础上加了一个判断,先写背包问题的一般写法,可以过掉40%,在考虑去优化。
对于每个物品有3种选择,可以不选、选但不用魔法、选且用魔法。
示例代码:
c
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const ll N = 1e4+5;
ll dp[N][2];// 设状态 dp[i][j] 表示物品总重量为 i,且使用了 j 次魔法情况下的最大值 ,j = 0 or 1
int n,w,v,M,K;
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
cin>>n>>M>>K;
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>w>>v;
// 优化为1维数组来写
for(int j=M;j>=0;j--){
if(j>=w){
dp[j][0]=max(dp[j][0],dp[j-w][0]+v);
dp[j][1]=max(dp[j][1],dp[j-w][1]+v);
}
if(j>=w+K){
dp[j][1]=max(dp[j][1],dp[j-w-K][0]+2*v);
}
}
}
cout<<max(dp[M][0],dp[M][1]);
return 0;
}
完全背包
1、完全背包模型
完全背包又叫无穷背包,即每种物品有无数个背包。
有一个体积为V的背包,商店有n个物品,每个物品有一个价值v和体积w,每个物品有无限多个,可以被拿无穷次,问能装下物品的最大价值。
设状态 dp[i]=max(dp[i],dp[i-w]+v) 表示 物品总体积为 i 的情况下的最大价值
c
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const ll N = 1e4+5;
ll dp[N];
int n,M;
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
cin>>n>>M;
for(int t=1;t<=n;t++){
int w,v;cin>>w>>v;
for(int i=w;i<=M;i++){
dp[i]=max(dp[i],dp[i-w]+v);
}
}
cout<<dp[M];
return 0;
}