记忆化搜索&动态规划，LeetCode 1997. 访问完所有房间的第一天

一、题目

1、题目描述

你需要访问 n 个房间，房间从 0 到 n - 1 编号。同时，每一天都有一个日期编号，从 0 开始，依天数递增。你每天都会访问一个房间。

最开始的第 0 天，你访问 0 号房间。给你一个长度为 n 且 下标从 0 开始 的数组 nextVisit 。在接下来的几天中，你访问房间的 次序 将根据下面的 规则 决定：

• 假设某一天，你访问 i 号房间。
• 如果算上本次访问，访问 i 号房间的次数为 奇数 ，那么 第二天 需要访问 nextVisit[i] 所指定的房间，其中 0 <= nextVisit[i] <= i 。
• 如果算上本次访问，访问 i 号房间的次数为 偶数 ，那么 第二天 需要访问 (i + 1) mod n 号房间。

请返回你访问完所有房间的第一天的日期编号。题目数据保证总是存在这样的一天。由于答案可能很大，返回对 109 + 7 取余后的结果。

2、接口描述

​python3

class Solution:
    def firstDayBeenInAllRooms(self, nextVisit: List[int]) -> int:

cpp

class Solution {
public:
    int firstDayBeenInAllRooms(vector<int>& nextVisit) {

    }
};

3、原题链接

1997. 访问完所有房间的第一天

---

二、解题报告

1、思路分析

要求什么？

访问完所有房间的第一天

由于根据题目要求，第一次访问第n个房间的前提是第n - 1个房间被访问两次，访问第n - 1个房间两次的前提是第n - 2个房间访问4次......

因而访问完所有房间的第一天就是第一次访问第n个房间的天数

和子问题的关系？

第一次访问第n个房间 <=> 第二次访问第n - 1个房间 + 1

<=> 第一次访问第n - 1个房间 + 从奇数次访问nextVisit[n - 1]到第二次访问第n - 1个房间 + 1 + 1

而从奇数次访问nextVisit[n - 1]到第二次访问第n - 1个房间等价为第一次访问第n - 1个房间的天数减去第一次访问第nextVisit[n - 1]个房间

设f(i)为第一次访问i号房间的天数

那么f(i) = f(i - 1) * 2 + f(nextVisit[i - 1]) + 2

我们可以用记忆化搜索来实现，也可以递推实现

2、复杂度

时间复杂度： O(n) 空间复杂度：O(n)

3、代码详解

​F1 记忆化搜索

python3

class Solution:
    def firstDayBeenInAllRooms(self, nextVisit: List[int]) -> int:
        n, mod = len(nextVisit), 1000000007
        @cache
        def f(x: int) -> int:
            if not x:
                return 0
            return (2 + f(x - 1) * 2 - f(nextVisit[x - 1]) + mod) % mod
        return f(n - 1)

cpp

class Solution {
public:
    int mem[100005];
    static constexpr int mod = 1e9 + 7;
    int f(int x, vector<int>& nextVisit){
        if(~mem[x]) return mem[x];
        return mem[x] = (2 + 2LL * f(x - 1, nextVisit) - f(nextVisit[x - 1], nextVisit) + mod) % mod;
    }
    int firstDayBeenInAllRooms(vector<int>& nextVisit) {
        int n = nextVisit.size();
        memset(mem, -1, sizeof mem);
        mem[0] = 0;
        return f(n - 1, nextVisit);
    }
};

F2 递推

python

class Solution:
    def firstDayBeenInAllRooms(self, nextVisit: List[int]) -> int:
        n, mod = len(nextVisit), 1_000_000_007
        f = [0] * n
        for i in range(1, n):
            f[i] = (2 + f[i - 1] * 2 - f[nextVisit[i - 1]] + mod) % mod
        return f[n - 1]

cpp

class Solution {
public:
static constexpr int mod = 1'000'000'007;
    int firstDayBeenInAllRooms(vector<int>& nextVisit) {
        int n = nextVisit.size();
        vector<int> f(n, 0);
        for(int i = 1; i < n; i++)
            f[i] = (2LL + 2LL * f[i - 1] - f[nextVisit[i - 1]] + mod) % mod;
        return f[n - 1];
    }
};