《算法笔记》系列----质数的判断（埃氏筛法）

一、朴素算法

二、埃氏筛法

1、与朴素算法对比

2、算法介绍

3、例题即代码实现

一、朴素算法

从素数的定义中可以知道，一个整数n要被判断为素数，需要判断n是否能被2.3.n- 1中的一个整除。只2，3..n- 1都不能整除n，n才能判定为素数，而只要有一个能整除n的数出现，n就可以判定为非素数。

这样的判定方法没有问题，复杂度为0(n) 。但是在很多题目中，判定素数只是整个算法

中的一部分，这时候0(n)的复杂度实际上有点大，需要更加快速的判定方法。注意到如果在

2 ~n-1中存在n的约数，不妨设为k,即n%k=0,那么由k*(n/k)=n可知，n/k也是n的一个约数，且k与n/k中一定满足其中一个小于等于sqrt(n)、另一个大于等于sqrt(n)其中sqr(n)为根号n。这启发我们，只需要判定n能否被2, 3,.. sqrt(n)中的一个整除(具中x表示对x向下取整)，即可判定n县否为素数。这样的话时间复杂度就位o（ sqrt(n)）。

代码如下：

cpp 复制代码

bool isprime（int x）{
  for(int i=2;i*i<=x;i++){
     if(x%i==0){
     return false;
       }
     }
      return true;
}

这里有个东西要注意：c++中sqrt函数是对double类型的函数，但是在实际代码中传进来的一般是一个int类型的数，因此我们在使用时要像下面这样让x乘上一个1.0

cpp 复制代码

int main(){
   int x;
   cin>>x;
   ifprime(sqrt(1.0*x));
   
}

二、埃氏筛法

1、与朴素算法对比

上面这个算法在判断一个数是否是素数时时间复杂度优越，但是如果我们这个题目需要得到在这个数范围内所有的素数（素数表）时这个时间复杂度就偏大，即o（nsqrt（n））。

2、算法介绍

因此我们要隆重引入我们新的算法埃氏筛法：

当需要生成一个给定范围内所有素数的素数表时，可以采用更高效的算法来降低时间复杂度。一种常见的方法是使用埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）。

埃氏筛法的时间复杂度O(nlog(log(n))) ，明显优于逐个判断每个数是否为素数的**O(nsqrt（n）)**复杂度。

埃拉托斯特尼筛法的基本思想是从2开始，依次将每个素数的倍数标记为非素数，直到遍历完整个范围。剩下未被标记的数即为素数。

整理步骤如下：

初始化一个布尔数组，表示每个数是否为素数，初始值为True。

从2开始遍历到n，对于每个素数p，将其倍数p×k（其中k>1）标记为非素数。

遍历完整个范围后，未被标记的数即为素数。

这种方法在生成素数表时能够显著减少时间复杂度，是常用的高效算法之一。

3、例题即代码实现

链接-晴问算法：https://sunnywhy.com/sfbj/5/4/205

完整ac代码：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    vector<bool> isprime(n+1,true);
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(isprime[i]){
            for(int j=i+i;j<=n;j+=i){
                isprime[j]=false;
            }
            cout<<i<<endl;
        }
    }
    return 0;
}