算法系列--动态规划--背包问题(5)--二维费用背包问题

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作者：Lvzi

文章主要内容：算法系列--动态规划--背包问题(5)--二维费用背包问题

大家好,今天为大家带来的是算法系列--动态规划--背包问题(5)--二维费用背包问题

一.⼀和零

链接:

https://leetcode.cn/problems/ones-and-zeroes/

分析:

分析题目,题目要求的是满足条件的所有子集中,元素最多的一个,有两个限制条件:

子集中0的个数不能超过m
子集中1的个数不能超过n

如果对01背包问题敏感的话,立即就能发现这道题目和01背包问题很像,01背包问题的最大特征就是在所给定的限制条件下,可以实现的最大价值,在01背包问题模版那道题目中,需要满足的限制条件只有一个不超过最大的体积j,但是本题的限制条件有两个(可以理解为多了一个不超过最大重量的限制条件)

这种具有两个限制条件的背包问题我们称之为二维费用的背包问题,包含两种01背包问题和完全背包问题,本题由于可选的物品的数量是唯一的,所以是01背包问题

二位费用的01背包问题其实就是多了一种限制条件,我们只需将dp表设置为三维的即可,分析思路通普通的01背包问题
状态表示:

dp[i][j][k]:在在i个子集中选择,0的数目不超过j,1的数目不超过k,所有的选法中,子集中元素最多的

状态转移方程的分析同样的也是根据最后一个位置的状态去划分

初始化和填表顺序以及返回值和01背包问题一致

代码:

java 复制代码

class Solution {
    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
        int len = strs.length;
        int[][][] dp = new int[len + 1][m + 1][n + 1];

        for(int i = 1; i <= len; i++) {
            int a = 0, b = 0;
            for(char x : strs[i - 1].toCharArray()) {
                if(x == '0') a++;
                else b++;
            }
            for(int k = 0; k <= m; k++) {
                for(int j = 0; j <= n; j++) {
                    dp[i][k][j] = dp[i - 1][k][j];

                    if(k >= a && j >= b)
                        dp[i][k][j] = Math.max(dp[i][k][j],dp[i - 1][k - a][j - b] + 1);
                }
            }
        }

        return dp[len][m][n];
    }
}

同样的,二维费用的背包问题也可以进行空间优化,空间优化的方式和普通的01背包问题一致,分为两步:

去掉所有的横坐标
更改遍历顺序

空间优化版本:

java 复制代码

class Solution {
    public int findMaxForm(String[] strs, int m, int n) {
        int len = strs.length;
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];// 创建dp表

        for(int i = 1; i <= len; i++) {
            // 求出当前字符中0,1的个数
            int a = 0, b = 0;
            for(char x : strs[i - 1].toCharArray()) {
                if(x == '0') a++;
                else b++;
            }

            // 填表
            for(int k = m; k >= a; k--) {
                for(int j = n; j >= b; j--) {    
                    dp[k][j] = Math.max(dp[k][j],dp[k - a][j - b] + 1);
                }
            }
        }

        return dp[m][n];
    }
}

二.盈利计划

链接:

https://leetcode.cn/problems/profitable-schemes/description/

分析:

本题有两个限制条件:

总人数不能超过n
总价格必须 >= minProfit

同样的也是一个二维费用的背包问题,分析思路同上,需要注意的是这里要求的是一共有多少种情况数,所以注意不选也是一种情况

状态表示:

dp[i][j][k]:在前i个物品中选择,总人数不超过j,总利润至少为k,一共有多少种选法

状态转移方程:

注意这里的总利润是至少为k,不是最多,k-p[i]可以小于0,如果小于0,就代表p[i]>k,也就是只要完成第i个任务就可以达到最小的利润,之前的所有任务我不选都行,但是在数组中下标不能为负数,所以当k-p[i] < 0时,应该直接当做总利润至少0的情况

代码:

java 复制代码

class Solution {
    public int profitableSchemes(int n, int minProfit, int[] group, int[] profit) {
        int len = group.length, MOD = (int)1e9 + 7;// MOD是为了防止数据过大造成越界
        int[][][] dp = new int[len + 1][n + 1][minProfit + 1];

        for(int j = 0 ; j <= n; j++) dp[0][j][0] = 1;

        for(int i = 1; i <= len; i++) {
            for(int j = 0; j <= n; j ++) {
                for(int k = 0; k <= minProfit; k++) {
                    dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k];
                    if(j >= group[i - 1])
                        dp[i][j][k] += dp[i - 1][j - group[i - 1]][Math.max(0, k - profit[i - 1])];

                    dp[i][j][k] %= MOD;// 防止越界
                }
            }
        }

        return dp[len][n][minProfit];
    }
}

空间优化代码:

java 复制代码

class Solution {
    public int profitableSchemes(int n, int minProfit, int[] group, int[] profit) {
        int len = group.length, MOD = (int)1e9 + 7;// MOD是为了防止数据过大造成越界
        int[][] dp = new int[n + 1][minProfit + 1];

        for(int j = 0 ; j <= n; j++) dp[j][0] = 1;

        for(int i = 1; i <= len; i++) {
            for(int j = n; j >= group[i - 1]; j--) {
                for(int k = minProfit; k >= 0; k--) {
                    dp[j][k] += dp[j - group[i - 1]][Math.max(0, k - profit[i - 1])];

                    dp[j][k] %= MOD;// 防止越界
                }
            }
        }

        return dp[n][minProfit];
    }
}

总结:

二维费用的背包问题其实多一维的背包问题,区别就在于dp表是一个三维的dp表,但是思路和普通的背包问题类似,遵循相同的状态表示,状态转移方程,填表顺序,以及空间优化
二位费用背包问题相较于普通的背包问题更加灵活,比如第二个题目中不再是不超过xxxx,而是至少实现最低利润