2024蓝桥杯每日一题（区间DP）

备战2024年蓝桥杯 -- 每日一题

Python大学A组

试题一：游戏

试题二：石子合并

试题三：密码脱落

试题四：能量项链

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试题一：游戏

【题目描述】

玩家一和玩家二共同玩一个小游戏。给定一个包含 N 个正整数的序列。由玩家一开始，双方交替行动。每次行动可以在数列的两端之中任选一个数字将其取走，并给自己增加相应数字的分数。（双方的初始分都是 0 分）当所有数字都被取完时，游戏结束。分更高的一方获胜。请计算，如果双方都采取最优策略进行游戏，则游戏结束时，双方的得分各是多少。

【输入格式】

第一行包含整数 N。

后面若干行包含 N 个整数，表示这个序列。注意每行不一定恰好包含一个数。

【输出格式】

共一行，两个整数，分别表示玩家一和玩家二的最终得分。

【数据范围】

2≤N≤100

数列中的数字的取值范围为 [1,200]

【输入样例】

6
4 7 2 9
5 2

【输出样例】

18 11

【解题思路】

采用一般的DP分析方法，f[i][j][k]表示玩家j在区间i~j的最大取值。

所以考虑如何状态转移，它肯定是由对手1-k选左边的或者选右边的得到，也即是f[i][j][k] = max(f[i][j][k]，s[j] - s[i] - f[i+1][j][1-k] + a[i]，s[j-1]-s[i-1] - f[i][j-1][1-k] + a[j] )。最后的答案为f[1][n][0]，s[j]-f[1][n][0]。

【Python程序代码】

n = int(input())
a,s = [0],[0]*(n+10)
while True:
    try:
        tep = list(map(int,input().split()))
        a += tep
    except:
        break
f = [[[0]*2 for i in range(210)] for j in range(210)]
for i in range(1,n+1):
    s[i] = s[i-1]+a[i]
for i in range(1,n+1):
    for k in [0,1]:
        f[i][i][k]=a[i]
        f[i-1][i][k]=max(a[i],a[i-1])
for i in range(n,0,-1):
    for j in range(i+1,n+1):
        for k in [0,1]:
            # 取右边
            f[i][j][k] = max(f[i][j][k], s[j-1]-s[i-1] - f[i][j-1][1-k] + a[j])
            # 取左边
            f[i][j][k] = max(f[i][j][k], s[j]-s[i] - f[i+1][j][1-k] + a[i])
print(f[1][n][0],s[j]-f[1][n][0])

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试题二：石子合并

【题目描述】

设有 N 堆石子排成一排，其编号为 1,2,3,...,N。每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这 N 堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。例如有 4 堆石子分别为 1 3 5 2， 我们可以先合并 1、2堆，代价为 4，得到 4 5 2， 又合并 1、2堆，代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24；如果第二步是先合并 2、32 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为 11，总代价为 4+7+11=22。问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

【输入格式】

第一行一个数 N 表示石子的堆数 N。

第二行 N 个数，表示每堆石子的质量(均不超过 1000)。

【输出格式】

输出一个整数，表示最小代价。

【数据范围】

1≤N≤300

【输入样例】

4
1 3 5 2

【输出样例】

22

【解题思路】

采用区间DP的方法，f[i][j]表示将区间i-j合并需要付出的最小代价，所以先枚举区间长度，然后枚举做端点，如果左端点为1则赋值f[i][j]=0，否则枚举区间断点k在i+1~j-1的范围，状态转移方程为：f[i][j] = min(f[i][j]，f[i][k] + f[k+1][j] + s[j]-s[i-1])，最后的答案为f[1][n]

【Python程序代码】

n = int(input())
a = [0] + list(map(int,input().split()))
s = [0]*(n+10)
for i in range(1,n+1):s[i] = s[i-1]+a[i]
f = [[1e9]*(n+10) for _ in range(n+10)]
for le in range(1,n+1):
    i = 1
    while i+le-1<=n:
        j = i+le-1
        if le==1:
            f[i][j]=0
            i+=1
            continue
        for k in range(i,j):
            f[i][j] = min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+s[j]-s[i-1])
        i+=1
print(f[1][n])

试题三：密码脱落

【题目描述】

X星球的考古学家发现了一批古代留下来的密码。这些密码是由A、B、C、D 四种植物的种子串成的序列。仔细分析发现，这些密码串当初应该是前后对称的（也就是我们说的镜像串）。由于年代久远，其中许多种子脱落了，因而可能会失去镜像的特征。你的任务是：给定一个现在看到的密码串，计算一下从当初的状态，它要至少脱落多少个种子，才可能会变成现在的样子。

【输入格式】

共一行，包含一个由大写字母ABCD构成的字符串，表示现在看到的密码串。

【输出格式】

输出一个整数，表示至少脱落了多少个种子。

【输入样例】

ABDCDCBABC

【输出样例】

3

【解题思路】

其实就是求最长回文子序列，可以采用区间DP的方法，先枚举区间长度，然后枚举区间左端点，如果区间长度为1则f[i][j]=1，否则当s[i]！=s[j]时，f[i][j] = max(f[i+1][j]，f[i][j-1])，当s[i]==s[j]时，f[i][j] = max(f[i][j]，f[i+1][j-1]+2).最后答案为n - f[0][n-1]

【Python程序代码】

f = [[0]*(1010) for _ in range(1010)]
s = input()
n = len(s)
for le in range(1,n+1):
    i = 0
    while i+le-1<n:
        j = i+le-1
        if le==1:f[i][j]=1
        else:
            f[i][j] = max(f[i + 1][j], f[i][j - 1])
            if s[i] == s[j]:
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i + 1][j - 1] + 2)
        i += 1
print(n-f[0][n-1])

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试题四：能量项链

【题目描述】

在 Mars 星球上，每个 Mars 人都随身佩带着一串能量项链，在项链上有 N 颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是 Mars 人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为 m，尾标记为 r，后一颗能量珠的头标记为 r，尾标记为 n，则聚合后释放的能量为 m×r×n（Mars 单位），新产生的珠子的头标记为 m，尾标记为 n。需要时，Mars 人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。例如：设 N=4，44 颗珠子的头标记与尾标记依次为 (2，3)(3，5)(5，10)(10，2)。我们用记号 ⊕⊕ 表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第 j，k 两颗珠子聚合后所释放的能量。则第 4、14、1 两颗珠子聚合后释放的能量为：(4⊕1)=10×2×3=60。这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为 ((4⊕1)⊕2)⊕3)=10×2×3+10×3×5+10×5×10=710。

【输入格式】

输入的第一行是一个正整数 N，表示项链上珠子的个数。

第二行是 N 个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过 1000，第 i 个数为第 i 颗珠子的头标记，当 i<N 时，第 i 颗珠子的尾标记应该等于第 i+1 颗珠子的头标记，第 N 颗珠子的尾标记应该等于第 1 颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

【输出格式】

输出只有一行，是一个正整数 E，为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

【数据范围】

4≤N≤100,

1≤E≤2.1×109

【输入样例】

4
2 3 5 10

【输出样例】

710

【解题思路】

首先这个这是一个环，如何处理环的首尾相接呢？可以在原数组的末尾在复制一个一样的数组，也就是构建出每一个首尾。最后答案应该为枚举i in [1,n]，res = max(res，f[i][i+n])。采用区间DP的方法，先枚举区间长度，然后枚举区间左端点，然后枚举断点k。状态转移方程为：f[ll][r] = max(f[l][r]，f[l][k] + f[k][r] + w[l]*w[k]*[r])。

【Python程序代码】

n = int(input())
w = list(map(int,input().split()))
w = [0] + w + w
f = [[0]*(2*n+5) for _ in range(2*n+5)]
for le in range(2,n+2):
    l = 1
    while l+le-1<=(n<<1):
        r = l+le-1
        if le==2:f[l][r]=0
        else:
            for k in range(l+1,r):
                f[l][r] = max(f[l][r], f[l][k] + f[k][r] + w[l]*w[k]*w[r])
        l+=1
res = 0
for l in range(1,n+1):res = max(res,f[l][l+n])
print(res)