【单调队列】滑动窗口与子矩阵

一、滑动窗口

给定一个大小为 n≤1e6 的数组。

有一个大小为 k 的滑动窗口，它从数组的最左边移动到最右边。

你只能在窗口中看到 k 个数字。

每次滑动窗口向右移动一个位置。

以下是一个例子：

该数组为 [1 3 -1 -3 5 3 6 7]，k 为 3。

窗口位置	最小值	最大值
[1 3 -1] -3 5 3 6 7	-1	3
1 [3 -1 -3] 5 3 6 7	-3	3
1 3 [-1 -3 5] 3 6 7	-3	5
1 3 -1 [-3 5 3] 6 7	-3	5
1 3 -1 -3 [5 3 6] 7	3	6
1 3 -1 -3 5 [3 6 7]	3	7

你的任务是确定滑动窗口位于每个位置时，窗口中的最大值和最小值。

输入格式

输入包含两行。

第一行包含两个整数 n 和 k，分别代表数组长度和滑动窗口的长度。

第二行有 n 个整数，代表数组的具体数值。

同行数据之间用空格隔开。

输出格式

输出包含两个。

第一行输出，从左至右，每个位置滑动窗口中的最小值。

第二行输出，从左至右，每个位置滑动窗口中的最大值。

输入样例：

8 3
1 3 -1 -3 5 3 6 7

输出样例：

-1 -3 -3 -3 3 3
3 3 5 5 6 7

cpp 复制代码

#include<iostream>
#include<algorithm> 
#define N 1000010
using namespace std;

int n,k;
int arr[N],q[N];//q队列所存储的为下标
int main(){
    cin>>n>>k;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>arr[i];
    }
    int hh=0,tt=-1;//队列的头尾指针
    
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(i+1-k>q[hh]) hh++;//如果头指针不在窗口内，就丢掉
        while(hh<=tt&&arr[q[tt]]>=arr[i]) tt--;
        q[++tt]=i;
        if(i+1>=k) cout<<arr[q[hh]]<<" ";//求的是最小值
    }
    cout<<endl;
    
    hh=0,tt=-1;
    
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(i+1-k>q[hh]) hh++;//如果头指针不在窗口内，就丢掉
        while(hh<=tt&&arr[q[tt]]<=arr[i]) tt--;//注意这里变成"<="
        q[++tt]=i;
        if(i+1>=k) cout<<arr[q[hh]]<<" ";//求的是最大值
    }
    return 0;
}

二、子矩阵

给定一个 n×m （n 行 m 列）的矩阵。设一个矩阵的价值为其所有数中的最大值和最小值的乘积。求给定矩阵的所有大小为 a×b （a 行 b列）的子矩阵的价值的和。

答案可能很大，你只需要输出答案对 998244353取模后的结果。

输入格式

输入的第一行包含四个整数分别表示 n,m,a,b，相邻整数之间使用一个空格分隔。

接下来 n行每行包含 m个整数，相邻整数之间使用一个空格分隔，表示矩阵中的每个数 Ai,j

输出格式

输出一行包含一个整数表示答案。

数据范围

对于 40%40% 的评测用例，1≤n,m≤100

对于 70%70% 的评测用例，1≤n,m≤500

对于所有评测用例，1≤a≤n≤1000，1≤b≤m≤1000，1≤Ai,j≤1e9

输入样例：

2 3 1 2
1 2 3
4 5 6

输出样例：

样例解释

1×2+2×3+4×5+5×6=581×2+2×3+4×5+5×6=58。

分析：

其实和滑动窗口差不多，关键在于把二维变成一维

cpp 复制代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 1010
#define MOD 998244353
typedef long long LL;
using namespace std;

int n,m,A,B;
int w[N][N];
int rmin[N][N],rmax[N][N];
int q[N];//存储队列下标

void get_max(int a[],int b[],int tot,int k){//模板
    int hh=0,tt=-1;
    for(int i=0;i<tot;i++){
        if(hh<=tt&&q[hh]<=i-k) hh++;
        while(hh<=tt&&a[q[tt]]<=a[i]) tt--;
        q[++tt]=i;
        b[i]=a[q[hh]];
    }
}

void get_min(int a[],int b[],int tot,int k){//模板
    int hh=0,tt=-1;
    for(int i=0;i<tot;i++){
        if(hh<=tt&&q[hh]<=i-k) hh++;
        while(hh<=tt&&a[q[tt]]>=a[i]) tt--;
        q[++tt]=i;
        b[i]=a[q[hh]];
    }
}
int main(){
    cin>>n>>m>>A>>B;
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=0;j<m;j++){
            cin>>w[i][j];
        }
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        get_max(w[i],rmax[i],m,B);//第一行里面在B长度的移动下，将单调递减序列存入rmax[]
        get_min(w[i],rmin[i],m,B);
    }
    
    int res=0;
    
    int a[N],b[N],c[N];
    for(int i=B-1;i<m;i++){//以B的长度开始移动
        for(int j=0;j<n;j++) a[j]=rmax[j][i];
        get_max(a,b,n,A);//用数组b来接受最大值
        for(int j=0;j<n;j++) a[j]=rmin[j][i];
        get_min(a,c,n,A);//用数组c来接受最小值
        for(int j=A-1;j<n;j++){
            res=(res+(LL)b[j]*c[j])%MOD;
        }
        
    }
    cout<<res;
    return 0;
}