Adaboost 算法介绍
1. 集成学习
集成学习（ensemble learning）通过构建并结合多个学习器（learner）来完成学习任务，通常可获得比单一学习器更良好的泛化性能（特别是在集成弱学习器（weak learner）时）。
目前集成学习主要分为2大类：
一类是以bagging、Random Forest等算法为代表的，各个学习器之间相互独立、可同时生成的并行化方法；
一类是以boosting、Adaboost等算法为代表的，个体学习器是串行序列化生成的、具有依赖关系，它试图不断增强单个学习器的学习能力。
2. Adaboost 算法详解
2.1 Adaboost 步骤概览
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初始化训练样本的权值分布，每个训练样本的权值应该相等（如果一共有 N N N个样本，则每个样本的权值为 1 N \frac{1}{N} N1)
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依次构造训练集并训练弱分类器。如果一个样本被准确分类，那么它的权值在下一个训练集中就会降低；相反，如果它被分类错误，那么它在下个训练集中的权值就会提高。权值更新过后的训练集会用于训练下一个分类器。
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将训练好的弱分类器集成为一个强分类器，误差率小的弱分类器会在最终的强分类器里占据更大的权重，否则较小。
2.2 Adaboost 算法流程
给定一个样本数量为 m m m的数据集
T = { ( x 1 , y 1 ) , ... , ( x m , y m ) } T= \left \{\left(x_{1}, y_{1}\right), \ldots,\left(x_{m}, y_{m}\right) \right \} T={(x1,y1),...,(xm,ym)}
y i y_i yi 属于标记集合 { − 1 , + 1 } \{-1,+1\} {−1,+1}。
训练集的在第 k k k个弱学习器的输出权重为
D ( k ) = ( w k 1 , w k 2 , ... w k m ) ; w 1 i = 1 m ; i = 1 , 2 ... m D(k)=\left(w_{k 1}, w_{k 2}, \ldots w_{k m}\right) ; \quad w_{1 i}=\frac{1}{m} ; i=1,2 \ldots m D(k)=(wk1,wk2,...wkm);w1i=m1;i=1,2...m
- 初始化训练样本的权值分布，每个训练样本的权值相同：
D ( 1 ) = ( w 11 , w 12 , ... w 1 m ) ; w 1 i = 1 m ; i = 1 , 2 ... m D(1)=\left(w_{1 1}, w_{1 2}, \ldots w_{1 m}\right) ; \quad w_{1 i}=\frac{1}{m} ; i=1,2 \ldots m D(1)=(w11,w12,...w1m);w1i=m1;i=1,2...m
- 进行多轮迭代，产生 T T T个弱分类器。
- 使用权值分布 $D(t) $的训练集进行训练，得到一个弱分类器
G t ( x ) : χ → { − 1 , + 1 } G_{t}(x) : \quad \chi \rightarrow\{-1,+1\} Gt(x):χ→{−1,+1}
- 计算 G t ( x ) G_t(x) Gt(x) 在训练数据集上的分类误差率（其实就是被 $G_t(x) $误分类样本的权值之和）:
e t = P ( G t ( x i ) ≠ y i ) = ∑ i = 1 m w t i I ( G t ( x i ) ≠ y i ) e_{t}=P\left(G_{t}\left(x_{i}\right) \neq y_{i}\right)=\sum_{i=1}^{m} w_{t i} I\left(G_{t}\left(x_{i}\right) \neq y_{i}\right) et=P(Gt(xi)=yi)=i=1∑mwtiI(Gt(xi)=yi)
- 计算弱分类器 Gt(x) 在最终分类器中的系数(即所占权重)
α t = 1 2 ln 1 − e t e t \alpha_{t}=\frac{1}{2} \ln \frac{1-e_{t}}{e_{t}} αt=21lnet1−et - 更新训练数据集的权值分布，用于下一轮（t+1）迭代
D ( t + 1 ) = ( w t + 1 , 1 , w t + 1 , 2 , ⋯ w t + 1 , i ⋯ , w t + 1 , m ) D(t+1)=\left(w_{t+1,1} ,w_{t+1,2} ,\cdots w_{t+1, i} \cdots, w_{t+1, m}\right) D(t+1)=(wt+1,1,wt+1,2,⋯wt+1,i⋯,wt+1,m)
w t + 1 , i = w t , i Z t × { e − α t （ i f G t ( x i ) = y i ） e α t （ i f G t ( x i ) ≠ y i ） = w t , i Z t exp ( − α t y i G t ( x i ) ) w_{t+1,i}=\frac{w_{t,i}}{Z_{t}} \times \left\{\begin{array}{ll}{e^{-\alpha_{t}}} & {\text （{ if } G_{t}\left(x_{i}\right)=y_{i}}） \\ {e^{\alpha_{t}}} & {\text （{ if } G_{t}\left(x_{i}\right) \neq y_{i}}）\end{array}\right.= \frac{w_{t,i}}{Z_{t}} \exp \left(-\alpha_{t} y_{i} G_{t}\left(x_{i}\right)\right) wt+1,i=Ztwt,i×{e−αteαt（ifGt(xi)=yi）（ifGt(xi)=yi）=Ztwt,iexp(−αtyiGt(xi))
其中 Z t Z_t Zt是规范化因子，使得 D ( t + 1 ) D(t+1) D(t+1)成为一个概率分布（和为1）：
Z t = ∑ j = 1 m w t , i exp ( − α t y i G t ( x i ) ) Z_{t}=\sum_{j=1}^{m} w_{t,i} \exp \left(-\alpha_{t} y_{i} G_{t}\left(x_{i}\right)\right) Zt=j=1∑mwt,iexp(−αtyiGt(xi))
- 集成 T T T个弱分类器为1个最终的强分类器：
G ( x ) = sign ( ∑ t = 1 T α t G t ( x ) ) G(x)=\operatorname{sign}\left(\sum_{t=1}^{T} \alpha_{t} G_{t}(x)\right) G(x)=sign(t=1∑TαtGt(x))
3. 算法面试题
3.1 Adaboost分类模型的学习器的权重系数 α \alpha α怎么计算的？
Adaboost是前向分步加法算法的特例，分类问题的时候认为损失函数指数函数。
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当基函数是分类器时，Adaboost的最终分类器是：
f ( x ) = ∑ m − 1 M α m G m ( x ) = f m − 1 ( x ) + α m G m ( x ) f(x)=\sum_{m-1}^{M}{\alpha_mG_m(x)}=f_{m-1}(x)+{\alpha_mG_m(x)} f(x)=m−1∑MαmGm(x)=fm−1(x)+αmGm(x) -
目标是使前向分步算法得到的 α \alpha α和 G m ( x ) G_m(x) Gm(x)使 f m ( x ) f_m(x) fm(x)在训练数据集T上的指数损失函数最小，即
( α , G m ( x ) ) = a r g m i n α , G ∑ i = 1 N e x p [ − y i ( f m − 1 ( x i ) + α G ( x i ) ) ] (\alpha, G_m(x))=arg min_{\alpha, G}\sum_{i=1}^{N}exp[-y_i(f_{m-1}(x_i)+\alpha G(x_i))] (α,Gm(x))=argminα,Gi=1∑Nexp[−yi(fm−1(xi)+αG(xi))]其中， w ^ m i = e x p [ − y i f m − 1 ( x i ) ] . \hat{w}{mi}=exp[-y_i f{m-1}(x_i)]. w^mi=exp[−yifm−1(xi)].为了求上式的最小化，首先计算 G m ∗ ( x ) G_m^*(x) Gm∗(x),对于任意的 α > 0 \alpha >0 α>0,可以转化为下式：
G m ∗ = a r g m i n G ∑ i = 1 N w ^ m i I ( y i ≠ G ( x i ) ) G_{m}^*=argmin_{G}\sum_{i=1}^{N}\hat{w}_{mi}I(y_i \neq G(x_i)) Gm∗=argminGi=1∑Nw^miI(yi=G(xi))之后求 α m ∗ \alpha_m^* αm∗,将上述式子化简，得到
∑ i = 1 N w ^ m i e x p [ − y i α G ( x i ) ] = ∑ y i = G m ( x i ) w ^ m i e − α + ∑ y i ≠ G m ( x i ) w ^ m i e α = ( e α − e − α ) ∑ i = 1 N w ^ m i I ( y i ≠ G ( x i ) ) + e − α ∑ i = 1 N w ^ m i \sum_{i=1}^{N}\hat{w}{mi}exp[-y_i \alpha G(x_i)] = \sum{y_i =G_m(x_i)}\hat{w}{mi}e^{-\alpha}+\sum{y_i \neq G_m(x_i)}{\hat{w}{mi}e^{\alpha}} = (e^{\alpha} - e^{- \alpha})\sum{i=1}^{N}\hat{w}{mi}I(y_i \neq G(x_i)) + e^{- \alpha}\sum{i=1}^{N}\hat{w}_{mi} i=1∑Nw^miexp[−yiαG(xi)]=yi=Gm(xi)∑w^mie−α+yi=Gm(xi)∑w^mieα=(eα−e−α)i=1∑Nw^miI(yi=G(xi))+e−αi=1∑Nw^mi
将已经求得的 G m ∗ ( x ) G_m^*(x) Gm∗(x)带入上式面，对 α \alpha α求导并等于0，得到最优的 α \alpha α.
a m ∗ = 1 2 l o g 1 − e m e m a_m^*=\frac{1}{2} log{\frac{1-e_m}{e_m}} am∗=21logem1−em
其中 e m e_m em是分类误差率:
e m = ∑ i = 1 N w ^ m i I ( y i ≠ G m ( x i ) ) ∑ i = 1 N w ^ m i = ∑ i = 1 N w ^ m i I ( y i ≠ G m ( x i ) ) e_m=\frac{\sum_{i=1}^{N}\hat{w}{mi}I(y_i \neq G_m(x_i))}{\sum{i=1}^{N}\hat{w}{mi}}=\sum{i=1}^{N}\hat{w}_{mi}I(y_i \neq G_m(x_i)) em=∑i=1Nw^mi∑i=1Nw^miI(yi=Gm(xi))=i=1∑Nw^miI(yi=Gm(xi))
3.2 Adaboost能否做回归问题？
Adaboost也能够应用到回归问题，相应的算法如下:
输入: T = ( x i , y 1 ) , ( x i , y 1 ) , . . . , ( x N , y N ) T={(x_i, y_1),(x_i, y_1),...,(x_N, y_N)} T=(xi,y1),(xi,y1),...,(xN,yN), 弱学习器迭代次数 M M M。
输出：强分类器 f ( x ) f(x) f(x).
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初始化权重，
D ( 1 ) = w 11 , w 12 , . . . , w 1 N ; w 1 i = 1 N ; i = 1 , 2 , . . , N D(1)={w_{11},w_{12},...,w_{1N}}; w_{1i}=\frac{1}{N}; i=1,2,..,N D(1)=w11,w12,...,w1N;w1i=N1;i=1,2,..,N -
根据 m = 1 , 2 , . . . , M m=1,2,...,M m=1,2,...,M;
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学习得到 G m ( x ) G_m(x) Gm(x)
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计算训练集上最大误差
E m = m a x ∣ y i − G m ( x i ) ∣ , i = 1 , 2 , . . , N E_m=max|y_i-G_m(x_i)|, i=1,2,..,N Em=max∣yi−Gm(xi)∣,i=1,2,..,N -
计算样本的相对平方误差:
e m i = ( y i − G m ( x i ) ) 2 E m 2 e_{mi}=\frac{(y_i-G_m(x_i))^2}{E_m^2} emi=Em2(yi−Gm(xi))2 -
计算回归误差率:
e m = ∑ i = 1 N w m i e m i e_m=\sum_{i=1}^{N}w_{mi}e_{mi} em=i=1∑Nwmiemi -
计算学习器系数:
α m = e m 1 − e m \alpha_m=\frac{e_m}{1-e_m} αm=1−emem -
更新样本权重：
w m + 1 , i = w m i Z m α m 1 − e m , i w_{m+1,i}=\frac{w_{mi}}{Z_m}{\alpha_{m}^{1-e^{m,i}}} wm+1,i=Zmwmiαm1−em,i其中 Z m Z_m Zm是规范化因子，
Z m = ∑ i = 1 m w m i α m 1 − e m , i Z_m=\sum_{i=1}^{m}w_{mi}{\alpha_{m}^{1-e^{m,i}}} Zm=i=1∑mwmiαm1−em,i
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得到强学习器：
f ( x ) = ∑ m = 1 M G m ∗ ( x ) f(x)=\sum_{m=1}{M}G_{m}^*(x) f(x)=m=1∑MGm∗(x)
注: 不管是分类问题还是回归问题，根据误差改变权重就是Adaboost的本质，可以基于这个构建相应的强学习器。
3.3 boosting和bagging之间的区别,从偏差-方差的角度解释Adaboost？
集成学习提高学习精度，降低模型误差，模型的误差来自于方差和偏差，其中bagging方式是降低模型方差，一般选择多个相差较大的模型进行bagging。boosting是主要是通过降低模型的偏差来降低模型的误差。其中Adaboost每一轮通过误差来改变数据的分布，使偏差减小。
3.4 为什么Adaboost方式能够提高整体模型的学习精度？
根据前向分布加法模型，Adaboost算法每一次都会降低整体的误差，虽然单个模型误差会有波动，但是整体的误差却在降低，整体模型复杂度在提高。
3.5 Adaboost算法如何加入正则项?
f m ( x ) = f m − 1 ( x ) + η α m G m ( x ) f_m(x)=f_{m-1}(x)+\eta \alpha_{m}G_{m}(x) fm(x)=fm−1(x)+ηαmGm(x)
3.6 Adaboost使用m个基学习器和加权平均使用m个学习器之间有什么不同？
Adaboost的m个基学习器是有顺序关系的，第k个基学习器根据前k-1个学习器得到的误差更新数据分布，再进行学习，每一次的数据分布都不同，是使用同一个学习器在不同的数据分布上进行学习。加权平均的m个学习器是可以并行处理的，在同一个数据分布上，学习得到m个不同的学习器进行加权。
3.7 Adaboost和GBDT之间的区别？
相同点：
Adaboost和GBDT都是通过减低偏差提高模型精度，都是前项分布加法模型的一种，
不同点:
Adaboost每一个根据前m-1个模型的误差更新当前数据集的权重，学习第m个学习器；
GBDT是根据前m-1个的学习剩下的label的偏差，修改当前数据的label进行学习第m个学习器，一般使用梯度的负方向替代偏差进行计算。
3.8 Adaboost的迭代次数(基学习器的个数)如何控制？
一般使用earlystopping进行控制迭代次数。
3.9 Adaboost算法中基学习器是否很重要，应该怎么选择基学习器？
sklearn中的adaboost接口给出的是使用决策树作为基分类器，一般认为决策树表现良好，其实可以根据数据的分布选择对应的分类器，比如选择简单的逻辑回归，或者对于回归问题选择线性回归。
3.10 MultiBoosting算法将Adaboost作为Bagging的基学习器，Iterative Bagging将Bagging作为Adaboost的基学习器。比较两者的优缺点？
两个模型都是降低方差和偏差。主要的不同的是顺序不同。MultiBosoting先减低模型的偏差再减低模型的方差，这样的方式
MultiBoosting由于集合了Bagging，Wagging，AdaBoost，可以有效的降低误差和方差，特别是误差。但是训练成本和预测成本都会显著增加。
Iterative Bagging相比Bagging会降低误差，但是方差上升。由于Bagging本身就是一种降低方差的算法，所以Iterative Bagging相当于Bagging与单分类器的折中。
3.11 训练过程中，每轮训练一直存在分类错误的问题，整个Adaboost却能快速收敛，为何？
每轮训练结束后，AdaBoost 会对样本的权重进行调整，调整的结果是越到后面被错误分类的样本权重会越高。而后面的分类器为了达到较低的带权分类误差，会把样本权重高的样本分类正确。这样造成的结果是，虽然每个弱分类器可能都有分错的样本，然而整个 AdaBoost 却能保证对每个样本进行正确分类，从而实现快速收敛。
3.12 Adaboost 的优缺点？
优点：能够基于泛化性能相当弱的的学习器构建出很强的集成，不容易发生过拟合。
缺点：对异常样本比较敏感，异常样本在迭代过程中会获得较高的权值，影响最终学习器的性能表现。