最小生成树问题是指给定一个带权的无向图，删除一些边使得这个无向图变成一棵树，并且权值之和最小。
解决此类问题的方法主要有两种：Prim算法，Kruskal算法
Prim 算法
从一个点开始，逐步扩展，每次选择权值最小的相连的边，保证不出环，直到顶点总数等于图中所有顶点个数，组成最小生成树
例题 最小生成树
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int fa[500005],n,m,ans,cnt;
int vis[100005],dis[100005],g[5005][5005];
void prim(){
memset(vis,0,sizeof vis);
memset(dis,0x3f,sizeof dis);
dis[1]=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
int t=-1;
for(int j=1;j<=n;j++){
if(!vis[j]&&(t==-1||dis[j]<dis[t])){
t=j;
}
}
if(dis[t]==0x3f3f3f3f){
printf("orz\n");
return ;
}
vis[t]=1;
ans+=dis[t];
for(int j=1;j<=n;j++){
if(dis[j]>g[t][j]&&!vis[j]){
dis[j]=g[t][j];
}
}
}
printf("%d\n",ans);
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(g,0x3f,sizeof g);
for(int i=1;i<=m;i++){
int xx,yy,zz;
scanf("%d%d%d",&xx,&yy,&zz);
if(g[xx][yy]==0x3f3f3f3f){
g[xx][yy]=zz;
g[yy][xx]=zz;
}
else{
g[xx][yy]=min(zz,g[xx][yy]);
g[yy][xx]=min(zz,g[yy][xx]);
}
}
prim();
return 0;
}Kruskal 算法
把所有边都从小到大排好序，从小到大逐个放入树，保证不能出环，直至树中结点总个数等于原无向图顶点数
例题 最小生成树
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int fa[100005],n,m,ans,cnt;
struct node{
int x,y,z;
}a[200005];
int Find(int x){
if(fa[x]==x){
return x;
}
return fa[x]=Find(fa[x]);
}
bool cmp(node aa,node bb){
return aa.z<bb.z;
}
int kruskal(){
sort(a+1,a+m+1,cmp);
for(int i=1;i<=m;i++){
int xx=Find(a[i].x);
int yy=Find(a[i].y);
if(xx==yy){
continue;
}
ans+=a[i].z;
fa[yy]=xx;
if(++cnt==n-1){
return ans;
}
}
return -1;
}
void Init(){
for(int i=1;i<=n;i++){
fa[i]=i;
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
Init();
for(int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d%d",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].z);
}
if(kruskal()==-1){
printf("orz\n");
return 0;
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}Build
给定几个城镇的坐标，要让它们联通起来，在它们间
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long fa[500005],n,ans,cnt;
struct node2{
long long x,y,z;
}b[500005];
struct node{
long long x,y,z;
}a[500005];
long long Find(long long x){
if(fa[x]==x){
return x;
}
return fa[x]=Find(fa[x]);
}
bool cmp1(node2 aa,node2 bb){
return aa.x<bb.x;
}
bool cmp2(node2 aa,node2 bb){
return aa.y<bb.y;
}
bool cmp(node aa,node bb){
return aa.z<bb.z;
}
void kruskal(){
sort(a+1,a+2*n+1,cmp);
for(int i=1;i<=2*n;i++){
long long x=a[i].x;
long long y=a[i].y;
long long xx=Find(x);
long long yy=Find(y);
if(xx==yy){
continue;
}
fa[xx]=yy;
ans+=a[i].z;
cnt++;
if(cnt==n-1){
return ;
}
}
}
void Init(){
for(int i=1;i<=n;i++){
fa[i]=i;
}
}
int main(){
scanf("%lld",&n);
Init();
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%lld%lld",&b[i].x,&b[i].y);
b[i].z=i;
}
sort(b+1,b+n+1,cmp1);
for(int i=1;i<n;i++){
a[i].x=b[i].z;
a[i].y=b[i+1].z;
a[i].z=b[i+1].x-b[i].x;
}
sort(b+1,b+n+1,cmp2);
for(int i=1;i<n;i++){
a[i+n].x=b[i].z;
a[i+n].y=b[i+1].z;
a[i+n].z=b[i+1].y-b[i].y;
}
kruskal();
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}