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引言
本篇文章主要介绍了快速幂，虽然我觉得自己已经掌握了，可是做起题来还是很生疏，尤其是做自己之前已经做过的题目，而且之前写的一个快速幂公式也有点问题，也给纠正了，所以还是要写写之前做过的有些难度并且已经生疏的题目啊，不然真的不做，跟没做一样，但是再做一遍就不一样了，比之前更清晰更深刻了些，加油！
一、转圈游戏
标签：快速幂
思路：公式如下： a n s = ( x + 1 0 k ∗ m ) m o d n ans = (x + 10^k * m)\ mod\ n ans=(x+10k∗m) mod n
因为相当于走了 1 0 k ∗ m 10^k * m 10k∗m 步，每走一步位置加一，再加上之前的相对位置，再取模即可。
题目描述：
n 个小伙伴（编号从 0 到 n−1）围坐一圈玩游戏。
按照顺时针方向给 n 个位置编号，从 0 到 n−1。
最初，第 0 号小伙伴在第 0 号位置，第 1 号小伙伴在第 1 号位置，...，依此类推。
游戏规则如下：每一轮第 0 号位置上的小伙伴顺时针走到第 m 号位置，第 1 号位置小伙伴走到第 m+1 号置，...，依此类推，
第 n−m 号位置上的小伙伴走到第 0 号位置，第 n−m+1 号位置上的小伙伴走到第 1 号位置，...，第 n−1 号位置上的小伙伴顺
时针走到第 m−1 号位置。
现在，一共进行了 10k 轮，请问 x 号小伙伴最后走到了第几号位置。
输入格式
输入共 1 行，包含 4 个整数 n、m、k、x，每两个整数之间用一个空格隔开。
输出格式
输出共 1 行，包含 1 个整数，表示 10k 轮后 x 号小伙伴所在的位置编号。
数据范围
1<n<106,0<m<n,1≤x≤n,0<k<109
输入样例：
10 3 4 5
输出样例：
5
示例代码：
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
#define x first
#define y second
const int N = 1e6+10;
int n, m, k, x;
LL qmi(LL a, LL k, int p)
{
LL res = 1;
while(k)
{
if(k&1) res = res * a % p;
k >>= 1;
a = a * a % p;
}
return res;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
cin >> n >> m >> k >> x;
// x + 10^k * m
cout << (x + qmi(10,k,n) * (LL)m) % n << endl;
return 0;
}二、快速幂
标签：数学知识、快速幂
思路：模板题没什么说的
题目描述：
给定 n 组 ai,bi,pi，对于每组数据，求出 abiimodpi 的值。
输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含三个整数 ai,bi,pi。
输出格式
对于每组数据，输出一个结果，表示 abiimodpi 的值。
每个结果占一行。
数据范围
1≤n≤100000,1≤ai,bi,pi≤2×109
输入样例：
2
3 2 5
4 3 9
输出样例：
4
1
示例代码：
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
#define x first
#define y second
const int N = 1e5+10;
int n, m;
LL qmi(LL a, LL k, int p)
{
LL res = 1;
while(k)
{
if(k&1) res = res * a % p;
k >>= 1;
a = a * a % p;
}
return res;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
cin >> n;
while(n--)
{
int a, k, p; cin >> a >> k >> p;
cout << qmi(a,k,p) << endl;
}
return 0;
}三、互质数的个数
标签：数论、欧拉函数、快速幂
思路：这个其实就是套公式了，欧拉函数的定义就是在 1 ∼ N 1 \sim N 1∼N 中与 N N N 互质的个数，公式如下： ϕ ( N ) = N ⋅ ( 1 − 1 p 1 ) ⋅ ( 1 − 1 p 2 ) ⋯ ( 1 − 1 p k ) \phi(N) = N \cdot\ (1- \frac{1}{p_1})\ \cdot (1-\frac{1}{p_2})\ \cdots (1-\frac{1}{p_k}) ϕ(N)=N⋅ (1−p11) ⋅(1−p21) ⋯(1−pk1) ϕ ( a b ) = a b − 1 ⋅ a ⋅ ( 1 − 1 p 1 ) ⋅ ( 1 − 1 p 2 ) ⋯ ( 1 − 1 p k ) \phi(a^b) = a^{b-1}\cdot\ a \cdot\ (1- \frac{1}{p_1})\ \cdot (1-\frac{1}{p_2})\ \cdots (1-\frac{1}{p_k}) ϕ(ab)=ab−1⋅ a⋅ (1−p11) ⋅(1−p21) ⋯(1−pk1)
然后因为由于分数的关系我们可以等价变换为 r e s ⋅ ( 1 − 1 p ) = r e s p ⋅ ( p − 1 ) res\ \cdot\ (1-\frac{1}{p}) = \frac{res}{p}\ \cdot\ (p-1) res ⋅ (1−p1)=pres ⋅ (p−1) 因为 p p p 是 r e s res res 的一个质因数所以肯定能整除，另外为什么要分解成 a b − 1 a^{b-1} ab−1 也是这个原因，不然自己一个不能整除。
题目描述：
给定 a,b，求 1≤x<ab 中有多少个 x 与 ab 互质。
由于答案可能很大，你只需要输出答案对 998244353 取模的结果。
输入格式
输入一行包含两个整数分别表示 a,b，用一个空格分隔。
输出格式
输出一行包含一个整数表示答案。
数据范围
对于 30% 的评测用例，ab≤106；
对于 70% 的评测用例，a≤106，b≤109；
对于所有评测用例，1≤a≤109，1≤b≤1018。
输入样例1：
2 5
输出样例1：
16
输入样例2：
12 7
输出样例2：
11943936
示例代码：
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
#define x first
#define y second
const int N = 1e5+10, MOD = 998244353;
LL a, b;
LL qmi(LL a, LL k)
{
LL res = 1;
while(k)
{
if(k&1) res = res * a % MOD;
k >>= 1;
a = a * a % MOD;
}
return res;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
cin >> a >> b;
LL res = a, x = a;
for(int i = 2; i <= x / i; ++i)
{
if(x % i == 0)
{
res = (res / i * (i - 1)) % MOD;
while(x % i == 0) x /= i;
}
}
if(x > 1) res = (res / x * (x - 1)) % MOD;
res = qmi(a,b-1) * res % MOD;
if(a == 1) res = 0;
cout << res << endl;
return 0;
}