【数据结构】树与二叉树遍历算法的应用（求叶子节点个数、求树高、复制二叉树、创建二叉树、二叉树存放表达式、交换二叉树每个结点的左右孩子）

Chen_devy2024-04-14 17:06

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求叶子节点个数、求树高、复制二叉树、创建二叉树、二叉树存放表达式、交换二叉树每个结点的左右孩子

  1. 遍历二叉树的应用都是基于递归法 实现的，递归的知识点 以及例题可以参考文章: 【数据结构与算法】递推法和递归法解题（递归递推算法典型例题）
  2. 树与二叉树 知识点可参考：【数据结构】树与二叉树（递归法先序、中序、后序、层次遍历二叉树、二叉树的建立以及求树高的方法）

注：本文二叉树的结构体定义为（采用二叉链表的定义）：

cpp 复制代码 
//采用二叉链表的定义
typedef struct TreeNode{
	int data;//数据域
	TreeNode *rchild;//右孩子指针
	TreeNode *lchild;//左孩子指针
}TreeNode, *BiTree;
//注意结构体名称别写错！！！

应用一：统计二叉树中叶子结点个数的算法

写法一：使用静态变量

  • 函数使用了一个静态局部变量 count 来统计叶子节点的数量。
  • 每次调用函数时，count 的值都会保持，并且在遇到叶子节点时自增。
cpp 复制代码 
int LeafCount(BiTree T){
	static int count=0; // 静态局部变量，保持在函数调用之间的值
	if(T){
		if((T->lchild==NULL)&&(T->rchild==NULL)){
			count++; // 每当遇到叶子节点，count自增
		}
		else{
			LeafCount(T->lchild);
			LeafCount(T->rchild);
		}
	}
	return count; // 返回叶子节点数
}

写法二：传入 count 作为参数

  • 函数将 count 作为参数传递，并通过引用进行修改。
cpp 复制代码 
int LeafCount(BiTree T, int &count) {
    if (T) {
        if (T->lchild == NULL && T->rchild == NULL)
            count++;
        else {
            LeafCount(T->lchild, count);
            LeafCount(T->rchild, count);
        }
    }
    return count;
}

写法三：不使用额外变量

  • 函数直接通过递归计算叶子节点的数量，不使用额外的变量。
  • 当遇到空树，返回 0；当遇到叶子节点，返回 1；否则，递归计算左右子树的叶子节点数，并返回它们的和。
cpp 复制代码 
int LeafCount3(BiTree T){  
	if (!T) return 0;	// 空树叶子结点个数为0
  	if (!T->lchild && !T->rchild) return 1; // 找到一个叶节点
  	return LeafCount3(T->lchild) + LeafCount3(T->rchild);	// 否则为左右叶子结点个数之和
}

应用二：二叉树存放表达式

二叉树存放表达式 ：

波兰式： +*dj/e+hi

中缀表示: d*j+e/(h+i)

逆波兰式: dj*ehi+/+

应用三：求二叉树的高

求二叉树深度算法(后序遍历）
m a x { 左子树深度 + 1 ，右子树深度 + 1 } max\{左子树深度+1，右子树深度+1\} max{左子树深度+1，右子树深度+1}

算法实现原理：

  1. 函数 Get_Height 接收一个指向树节点的指针 node 作为参数，表示要计算高度的二叉树的根节点。

  2. 首先，检查传入的节点是否为空。如果是空节点（即 node == NULL），那么树的高度为 0，因此函数直接返回 0。

  3. 如果节点不为空，则进入递归过程。它通过分别递归调用 Get_Height 函数来计算左子树和右子树的高度。

  4. 递归的终止条件就是当遇到叶子节点时，即左子节点和右子节点都为 NULL，这时高度为 0。

  5. 在每一层递归中，通过比较左子树的高度和右子树的高度，选择其中较大的一个，然后加上根节点，就得到了以当前节点为根的子树的高度。

  6. 最终，根据左右子树的高度计算出的最大高度加上根节点，就是整棵树的高度。

  7. 然后，返回return Tree_Height这个树的高度。

cpp 复制代码 
//求二叉树的高
int Get_Height(TreeNode* node) {
    if (node == NULL) return 0;//终止条件：如果为空节点，返回0，表示高度为0
    int Left_Height = Get_Height(node->lchild);//递归求左子树高度
    int Right_Hegiht = Get_Height(node->rchild);//递归求右子树高度
    int Tree_Height = 1 + (Left_Height > Right_Height?Left_Height:Right_Height);//计算树高
    return Tree_Height;
}

应用四：复制二叉树

复制二叉树采用后序遍历的方法来实现的，具体实现原理如下：

  1. 结点生成 （GetTreeNode函数）：

    • GetTreeNode函数用于创建一个二叉树的结点。
    • 它接收三个参数：
      • item：表示结点的数据值。
      • lptr：表示左子树的指针。
      • rptr：表示右子树的指针。
    • 在函数内部，它首先分配一个新的结点（Q）的内存空间。
    • 然后，将传入的数据值、左子树指针和右子树指针分别赋值给新结点的对应字段。
    • 最后，返回新创建的结点。

  2. 后序遍历 （CopyTree函数）：

    • CopyTree函数用于复制一个二叉树。
    • 如果需要复制的二叉树的结点为空，直接返回NULL。
    • 否则，递归地复制左子树和右子树：
      • 如果左子树非空，调用CopyTree函数复制左子树。
      • 如果右子树非空，调用CopyTree函数复制右子树。
    • 创建一个新的结点，将原结点的数据值、复制的左子树和复制的右子树分别赋值给新结点的对应字段。
    • 返回复制后的新二叉树。

代码示例：

cpp 复制代码 
// 生成一个二叉树的结点
TreeNode* GetTreeNode(int item, TreeNode *lptr , TreeNode *rptr ){
	BiTree Q;
    if ( !(Q = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode))) ) {
    	exit(1);
    }
    Q-> data = item;
    Q-> lchild = lptr;    
    Q-> rchild = rptr;
    return Q;
}

//后序遍历 
TreeNode *CopyTree(TreeNode *T) {  
	//如果需要复制的二叉树的结点为空 就直接退出 
	BiTree newlptr=NULL;
	BiTree newrptr=NULL;
	BiTree newT=NULL;
	
    if (!T)    return NULL;
    if (T->lchild ) 
        newlptr = CopyTree(T->lchild);//复制左子树
    if (T->rchild ) 
		newrptr = CopyTree(T->rchild);//复制右子树
    
    newT = GetTreeNode(T->data, newlptr, newrptr);
    return newT;
} // CopyTree

注意 ：在给定的代码中，CopyTree 函数用于复制一个二叉树。它会递归地复制二叉树的每个节点，并且生成一个新的二叉树。在这个过程中，新的二叉树和原始二叉树的节点是独立的，它们的内存地址不同。这是因为 CopyTree 函数中调用 GetTreeNode 函数，该函数每次都会动态分配内存以创建新的节点。

所以，复制后的二叉树和原始二叉树之间的节点地址没有任何关系，它们是相互独立的。修改复制后的二叉树的节点不会影响原始二叉树。

应用五：二叉树的建立

以先序序列定义一棵二叉树：输入所要建立的二叉树的先序序列，建立二叉链表。

在输入的二叉树的先序序列中，加入空树明确表示"#"。

按先序遍历序列建立二叉树的二叉链表

已知先序 序列为：ABC##DE##F###

二叉树的建立的算法：

cpp 复制代码 
typedef struct TreeNode{
	int data;//数据域
	TreeNode *rchild;//右孩子指针
	TreeNode *lchild;//左孩子指针
}TreeNode, *BiTree;

//二叉树的建立的算法(按先序遍历序列建立)
void CreateBiTree(BiTree &T) {
	char ch; 
    scanf("%c",&ch);
    if (ch=='#') T = NULL;
    else {
        T = (TreeNode *)malloc(sizeof(TreeNode))； 
        T->data = ch;      // 生成根结点
        CreateBiTree(T->lchild); // 构造左子树
        CreateBiTree(T->rchild); // 构造右子树
    }
}

应用六：交换二叉树每个结点的左右孩子

以上代码实现了交换二叉树每个节点的左右孩子的功能，分别使用了先序、中序和后序遍历的方式。

遍历二叉树算法的变式：

  1. Swap 函数（先序遍历）：

    • 从根节点开始，先交换当前节点的左右孩子。
    • 然后递归地对左子树和右子树执行相同的操作。

  2. Swap2 函数（中序遍历）：

    • 与先序遍历不同，中序遍历中需要先对左子树进行操作，然后交换当前节点的左右孩子，最后对右子树进行操作。
    • 但是这个实现方式是错误的，因为在交换左子树之后，对右子树进行操作时，右子树的结构已经发生了变化，导致结果错误。

  3. Swap3 函数（后序遍历）：

    • 与先序遍历类似，但是是在遍历完左右子树之后再交换当前节点的左右孩子。
    • 这样可以保证在交换左右孩子时，左右子树的结构不会被改变。

通过上述分析，正确的交换方式是采用先序或后序遍历，中序遍历方式不适合这个场景。

Swap 函数（先序遍历）：

cpp 复制代码 
//前序
void Swap(BiTree& T){
	//（先序遍历） 
	if(T){
	//根节点 
		if(T->lchild||T->rchild){
			BiTree p;
			p= T->lchild;
			T->lchild = T->rchild;
			T->rchild = p;
		}
		Swap(T->lchild);
		Swap(T->rchild);
	}
}

Swap 函数（中序遍历）××× 不可行：

cpp 复制代码 
//中序的不行 
void Swap2(BiTree& T){
	//（中序遍历） 
	
	if(T){
	//根节点 
		Swap2(T->lchild);
		if(T->lchild||T->rchild){
			BiTree p;
			p= T->lchild;
			T->lchild = T->rchild;
			T->rchild = p;
		}
		Swap2(T->rchild);
		
	}
}

Swap 函数（后序遍历）：

cpp 复制代码 
//后序
void Swap3(BiTree& T){
	//（后序遍历） 
	
	if(T){
	//根节点 
		Swap3(T->lchild);
		Swap3(T->rchild);
		if(T->lchild||T->rchild){
			BiTree p;
			p= T->lchild;
			T->lchild = T->rchild;
			T->rchild = p;
		}
	}
	
	
}

求叶子节点个数、求树高、复制二叉树、创建二叉树完整代码示例

输入示例：ABC##DE##F###

cpp 复制代码 
#include<iostream>
using namespace std;


typedef struct TreeNode{
	int data;//数据域
	TreeNode *rchild;//右孩子指针
	TreeNode *lchild;//左孩子指针
}TreeNode, *BiTree;


//二叉树的建立的算法(按先序遍历序列建立)
void CreateBiTree(BiTree &T) {
	char ch; 
    scanf("%c",&ch);
    if (ch=='#') T = NULL;
    else {
        T = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode));
        T->data = ch;      // 生成根结点
        CreateBiTree(T->lchild); // 构造左子树
        CreateBiTree(T->rchild); // 构造右子树
    }
}

//求叶子结点 
int LeafCount(BiTree T){
	static int count=0;//或者定义成全局变量 
	/*这里使用局部静态变量*/
	if(T){
		
		if((T->lchild==NULL)&&(T->rchild==NULL)){
			//判断T是否为叶子结点
			count++;
			//每次递归调用
			//当T为叶子时，count自加
		}
		else{
			//递归：求T左、右子树上的叶子结点数

			LeafCount(T->lchild);
			LeafCount(T->rchild);
		}
		
	}
	return count;
}

//求叶子节点的写法三 
int LeafCount3(BiTree T){  
	if (!T) return 0;	
      //空树叶子结点个数为0
  	if (!T->lchild && !T->rchild) return 1; 
      //若根节点没有左右孩子叶子结点个数为1
  	return LeafCount3(T->lchild) + LeafCount3(T->rchild);	
      //否则为左右叶子结点个数之和
}



//求树高 
int Get_Height(BiTree node){//递归 求树高 
	if(node==NULL) return 0;
	else{
		int Left_Height = Get_Height(node->lchild);
		int Right_Height = Get_Height(node->rchild);
		int Tree_Height = 1 + (Left_Height > Right_Height?Left_Height:Right_Height);//计算树高
    	return Tree_Height;
	}
	
}
//先序遍历 
void xxbl(BiTree T){
    if(T){//递归调用的结束条件
        printf("%c",T->data);//访问结点
        xxbl(T->lchild);//遍历左子树
        xxbl(T->rchild);//遍历右子树
    }
    
}
//中序遍历 
void zxbl(BiTree T){
    if (T) {
        zxbl(T->lchild); 
        printf("%c",T->data); 
        zxbl(T->rchild);
    }
}
//后序遍历 
void hxbl(BiTree T){
    if(T){
        hxbl(T->lchild); 
        hxbl(T->rchild); 
        printf("%c",T->data);
    }
}

// 
// 生成一个二叉树的结点
TreeNode* GetTreeNode(int item, TreeNode *lptr , TreeNode *rptr ){
	BiTree Q;
    if ( !(Q = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode))) ) {
    	exit(1);
    }
    Q-> data = item;
    Q-> lchild = lptr;    
    Q-> rchild = rptr;
    return Q;
}

//后序遍历 
TreeNode *CopyTree(TreeNode *T) {  
	//如果需要复制的二叉树的结点为空 就直接退出 
	BiTree newlptr=NULL;
	BiTree newrptr=NULL;
	BiTree newT=NULL;
	
    if (!T)    return NULL;
    if (T->lchild ) { 
        newlptr = CopyTree(T->lchild);//复制左子树
	} 
	if (T->rchild ){ 
		newrptr = CopyTree(T->rchild);//复制右子树
    } 
    newT = GetTreeNode(T->data, newlptr, newrptr);
    return newT;
} // CopyTree


int main(){
	 
	BiTree T;
	//例如输入：ABC##DE##F### 来创建二叉树 
	CreateBiTree(T);
	cout<<"先序："; 
	xxbl(T);
	cout<<endl;
	cout<<"中序："; 
	zxbl(T);
	cout<<endl;
	cout<<"后序："; 
	hxbl(T);
	cout<<endl;
	cout<<"树高为：" ;
	cout<<Get_Height(T)<<endl;
	cout<<"叶子节点的个数为：";
	cout<<LeafCount3(T)<<endl; 
	
	
	
	//复制二叉树
	BiTree Q;
	Q=CopyTree(T); 
	cout<<"复制后的二叉树 以先序输出："; 
	xxbl(Q);
	cout<<endl;
	//修改一下Q 左子树根节点的数据 观察原本T 是否改变 
	Q->lchild->data='Z';
	cout<<"修改的二叉树 Q以先序输出："; 
	xxbl(Q);
	cout<<endl;
	
	cout<<"T先序："; 
	xxbl(T);
	cout<<endl;
	return 0; 
}

感谢您的阅读！

  1. 遍历二叉树的应用都是基于递归法 实现的，递归的知识点 以及例题可以参考文章: 【数据结构与算法】递推法和递归法解题（递归递推算法典型例题）
  2. 树与二叉树 知识点可参考：【数据结构】树与二叉树（递归法先序、中序、后序、层次遍历二叉树、二叉树的建立以及求树高的方法）
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