LeetCode-152. 乘积最大子数组【数组 动态规划】
题目描述：
给你一个整数数组 nums ，请你找出数组中乘积最大的非空连续
子数组
（该子数组中至少包含一个数字），并返回该子数组所对应的乘积。
测试用例的答案是一个 32-位 整数。
示例 1:
输入: nums = [2,3,-2,4]
输出: 6
解释: 子数组 [2,3] 有最大乘积 6。
示例 2:
输入: nums = [-2,0,-1]
输出: 0
解释: 结果不能为 2, 因为 [-2,-1] 不是子数组。
提示:
1 <= nums.length <= 2 * 104
-10 <= nums[i] <= 10
nums 的任何前缀或后缀的乘积都 保证 是一个 32-位 整数
解题思路一：动态规划五部曲：定推初遍举
- dp定义
以下标 i 结尾的连续子序列的乘积的最大值。
牢记状态的定义，一定以下标 i 结尾，即：乘积数组中 nums[i] 必须被选取。- 如果 dp[i - 1] 是负数，乘上 nums[i] 还是负数，倒不如另起炉灶。
- 如果 nums[i] 是负数该怎么办呢？dp[i - 1] 是正数的时候，越乘越小，dp[i - 1] 是负数的时候，越乘越大，于是我们可能就需要记录一下负数的那个最小数。
遇到这样的问题，其实就在提示我们状态不够用了。因此，需要在原来的一维 dp 后面新增一个状态。
针对这道题，第 2 维状态只需要两个：
- 用 0 表示遍历的过程中得到的以 nums[i] 结尾的连续子序列的乘积的最小值；
- 用 1 表示遍历的过程中得到的以 nums[i] 结尾的连续子序列的乘积的最大值。
当 nums[i] = 0 的时候包含在上面二者之中，无需单独讨论。
状态转移方程写在了参考代码 1 中。即使用二维状态数组同时记录乘积的最大值和最小值，本来写了一堆文字的，后来看太长了，好多废话，直接看代码比较清楚一些。
这里就声明一下状态：
dp[i][1] 表示：以 nums[i] 结尾的连续子序列的乘积的最大值；
dp[i][0] 表示：以 nums[i] 结尾的连续子序列的乘积的最小值。
- 推导公式
python
if nums[i] >= 0:
dp[i][1] = max(nums[i], dp[i-1][1] * nums[i])
dp[i][0] = min(nums[i], dp[i-1][0] * nums[i])
else:
dp[i][1] = max(nums[i], dp[i-1][0] * nums[i])
dp[i][0] = max(nums[i], dp[i-1][1] * nums[i])- 初始化
python
dp = [[0, 0] for _ in range(n)]
dp[0][0] = nums[0]
dp[0][1] = nums[0]- 遍历顺序，显然是从前往后
python
for i in range(1, n):- 举例
python
class Solution:
def maxProduct(self, nums: List[int]) -> int:
n = len(nums)
if n == 0:
return 0
dp = [[0, 0] for _ in range(n)]
dp[0][0] = nums[0]
dp[0][1] = nums[0]
for i in range(1, n):
if nums[i] >= 0:
dp[i][1] = max(nums[i], dp[i-1][1] * nums[i])
dp[i][0] = min(nums[i], dp[i-1][0] * nums[i])
else:
dp[i][1] = max(nums[i], dp[i-1][0] * nums[i])
dp[i][0] = min(nums[i], dp[i-1][1] * nums[i])
# print(dp)
ans = dp[0][1]
for i in range(1, n):
ans = max(ans, dp[i][1])
return ans时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)
解题思路二：因为每一个状态只与前一个状态有关，可以使用「滚动变量」技巧，使用常数个变量完成这道问题。
python
class Solution:
def maxProduct(self, nums: List[int]) -> int:
n = len(nums)
if n == 0:
return 0
# dp = [[0, 0] for _ in range(n)]
# dp[0][0] = nums[0]
# dp[0][1] = nums[0]
preMax = nums[0]
preMin = nums[0]
curMax = preMax
curMin = preMin
ans = nums[0]
for i in range(1, n):
if nums[i] >= 0:
curMax = max(nums[i], preMax * nums[i])
curMin = min(nums[i], preMin * nums[i])
else:
curMax = max(nums[i], preMin * nums[i])
curMin = min(nums[i], preMax * nums[i])
ans = max(ans, curMax)
# 滚动变量
preMax = curMax
preMin = curMin
return ans时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)
解题思路三：0
python
时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)