【数据结构与算法】搜索算法（深度优先搜索 DFS和广度优先搜索 BFS）以及典型算法例题

Chen_devy2024-04-16 2:03

目录

【数据结构与算法】系列文章链接: 【数据结构与算法】递推法和递归法解题（递归递推算法典型例题）

【数据结构与算法】系列文章链接: 【数据结构与算法】C++的STL模板（迭代器iterator、容器vector、队列queue、集合set、映射map）以及算法例题

【数据结构与算法】系列文章链接: 【数据结构与算法】二分查找算法

搜索算法（深度优先搜索DFS和广度优先搜索BFS）以及典型算法例题

注意：深度优先搜索算法（DFS）的时间复杂度较高 ，深度优先搜索是 O(n!) 的阶乘级算法，它的效率非常低，在数据规模变大时，此算法就难以解决当前的问题了。

DFS 的设计步骤

  1. 确定题目的状态以及边界
  2. 确定状态的转移方式
  3. 找到问题的出口，计数或某个状态
  4. 设计搜索
    DFS的通用模板
cpp 复制代码 
int check(这里输入相关参数){
	if(condition)//括号中写上对应的满足条件
		return 1;//满足条件后输出 1 
	return 0;
}
bool pd(输入判断的相关参数){
	//根据题中 进行具体的操作
}

void dfs(int step)
{
        //判断边界pd()
        {
            //不在边界内，即回溯
        }
        //尝试每一种可能
        {
               //满足check条件

               //标记

               //继续下一步
               dfs(step+1)；

               //恢复初始状态（回溯的时候要用到）
        }
}

深度优先搜索（DFS）算法例题

例题一：N皇后问题

输入示例：

cpp 复制代码 
5

输出示例：

cpp 复制代码 
10

题目分析：

  1. 第一步：
    设：当前行为第一行，当前列为第一列，从第一列开始搜索，即只能让皇后从第一行放到第n行。
    这样做的好处是，我们不需要去判断皇后是否同行，我们只需要去判断皇后是否在斜线和是否同列就行。
  2. 判断边界
    在当前行，当前列的位置上判断是否满足条件（也就是保证经过这一点的行，列与斜线上都没有两个皇后），如果不满足，跳到第五步（不符合边界条件）
    判断条件为：
    我们使用数值x[a]=i来表示第a个皇后的位置在第a行的第i列。
    判断是否同列的方法是：循环判断x[a]==x[i]是否为真。
    判断是否在同一斜线上的方法：循环判断abs(x[k]-x[i]) == abs(k-i) 是否为真
  3. 搜索过程
    调用check()函数
    如果完成（满足）题意的任务 加一，就继续调用函数 放下一个皇后
  4. check()函数
    如果搜索到第N+1行的时候。求得结果 （可行方案数量）记录加一。
  5. 当前位置不满足，进行回溯。

边界判断函数PD(int k) 判断是否越界：

cpp 复制代码 
int PD(int k)//边界判断
{

    for(int i=1; i<k; i++)
    {
        if(abs(k-i)==abs(x[k]-x[i]))
            return 0;
        else if (x[k]==x[i])
            return 0;
        //即判断是否符合条件来放,i表示皇后所在的行数，x[i]表示所在的列数，
        //所以前面那个条件用来判断两个皇后是否在对角线上,后面用来判断是否在同一列上。
        //行数不需要判断，因为他们本身的i就代表的是行数
    }
    return 1;
}

检查是否完成题中任务的函数check(int a)：

cpp 复制代码 
bool check(int a)
{

    if(a>n)
        sum++;
    else
        return 0;
    return 1;
}

深度优先搜索的函数 DFS(int a)：

cpp 复制代码 
void DFS(int a)
{
    if(check(a))
        return ;
    else
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            x[a]=i;
                //第a个皇后放的列数
            if(PD(a))
                    //判断是否能放这步
                DFS(a+1);
                    //能的话进行下一个皇后的放置
            x[a]=i;
            else continue ;
                    //不能就下一列
        }
}

题解代码示例：

cpp 复制代码 
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int x[15] = {0};//数组稍微建立大一点 防止某些不影响结果的越界报错
int sum,n;//

int PD(int k)//边界判断
{

    for(int i=1; i<k; i++)
    {
        if(abs(k-i)==abs(x[k]-x[i]))
            return 0;
        else if (x[k]==x[i])
            return 0;
        //即判断是否符合条件来放,i表示皇后所在的行数，x[i]表示所在的列数，
        //所以前面那个条件用来判断两个皇后是否在对角线上,后面用来判断是否在同一列上。
        //行数不需要判断，因为他们本身的i就代表的是行数
    }
    return 1;
}

//检查
bool check(int a)
{

    if(a>n)
        sum++;
    else
        return 0;
    return 1;
}

void DFS(int a)
{
    if(check(a))
        return ;
    else
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            x[a]=i;
                //第a个皇后放的列数
            if(PD(a))
                    //判断是否能放这步
                DFS(a+1);
                    //能的话进行下一个皇后的放置
            x[a]=i;
            else continue ;
                    //不能就下一列
        }
}
int main()
{
    cin>>n;
    //表示几个皇后
    DFS(1);
    //每次都从第一个皇后开始
    cout<<sum<<endl;
    return 0;
}
例题二：路径之谜问题

输入示例：

cpp 复制代码 
4
2 4 3 4
4 3 3 3

输出示例;

cpp 复制代码 
0 4 5 1 2 3 7 11 10 9 13 14 15

题目分析：
方法一：采用逆推法，逆向思维，从终点开始走，每走一格拔下来一个箭 （采用方法一 判断条件方便）

方法二：走一格射两个箭。

  1. 设当前位置为第一行，当前列为第一列从左上角开始搜索（寻路）。

  2. 判断边界：

    在当前行，当前列的位置上判断是否满足条件，若不满足条件跳到第五步。

    判断条件：
    flag[x][y]==1标记数组已经被走过
    x<1 || x>n || y<1 || y>n分别表示从左侧走出方格、从右侧走出方格、从上出走出方格、从下处走出方格
    col[x]<=0箭用完了
    rol[y]<=0箭用完了

  3. 搜索过程

    调用check()函数。判断是否走到终点，如果走到终点是否完成任务

  4. check()函数：

    如果当搜索到x=n,y=n时，且箭靶上的箭都没了

  5. 在当前位置上不满足条件的情况，进行回溯，并且还原现场。

check()函数：判断是否走到终点，如果走到终点是否完成任务

cpp 复制代码 
bool  check(int x, int y) //判断走过的路径的箭靶数是否与目标相同
{
    if(x==n && y==n)//走到了终点 
    {
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {//判断每一列是否为零 
            if(col[i]!=0)
            {
                return false;
            }
            //如果箭靶上的数目不为0，根据逆推，我们通过当前路径得不到箭靶上的结果
        }
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {//判断每一行是否为零
            if(rol[i]!=0)
            {
                return false;
            }
            //如果箭靶上的数目不为0，根据逆推，我们通过当前路径得不到箭靶上的结果
        }
        //如果都为零了 就说明这条路对了  然后把这条路线输出出来
        for(int i=0; i<res.size(); i++)
        {
            int x=res[i].first;
            //x 轴坐标
            int y=res[i].second;
            //y 轴坐标
            int sum=n*(x-1)+y-1 ;
            // 通过计算的到为题目要求的坐标系
            cout <<sum<< " ";
        }
        
        cout << endl;
        return false;
        // 成功终止
    }
    //没走到终点
    return true; //继续搜索
    //关于终止还是继续我们交给判定即可
}

判断是否超出边界的函数pd()：

cpp 复制代码 
//边缘判断条件
bool pd(int x2,int y2) //边界判断
{
    if(flag[x2][y2]==1)
        return 0;
    //已被走过，不能再走，超出边界
    else if(x2<1)
        return 0;
    //从左侧走出方格
    else if(x2>n)
        return 0;
    //从右侧走出方格
    else if(y2<1)
        return 0;
    //从上侧走出方格
    else if(y2>n)
        return 0;
    //从下侧走出方格
    
    //剪枝
    else if(col[x2]<=0)
        return 0;
    //没走到右下角，箭用完了
    else if(rol[y2]<=0)
        return 0;
    //没走到右下角，箭用完了
    
    
    else return 1;
    //符合边界条件，可以继续执行搜索
}
cpp 复制代码 
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

struct PII
{
    int first;//x坐标
    int second;//y坐标
};

const int N = 30;
int rol[N];//行 也就是y轴
int col[N];//列 也就是x轴
int n;//格子数 长宽从1到n
bool flag[N][N]; //用来标记是否走过
vector<PII> res;//


//---------图的路径搜索常用方向移动表示-------

int dx[4]= {0,1,-1,0};
int dy[4]= {1,0,0,-1};
//我们做一下约定：
// 两两组合形成上下左右四个方向
//      1------------------> x
//      |
//      |
//      |
//      |
//      |
//      |
//      |
//      ↓
//      y

// dx[0]=0 dy[0]=1 那么代表向下的方向
// dx[1]=1 dy[1]=0 那么代表向右的方向
// dx[2]=-1 dy[0]=0 那么代表向左的方向
// dx[3]=0 dy[1]=-1 那么代表向上的方向

//--------------------------------------------

bool  check(int x, int y) //判断走过的路径的箭靶数是否与目标相同
{
    if(x==n && y==n)//走到了终点 
    {
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {//判断每一列是否为零 
            if(col[i]!=0)
            {
                return false;
            }
            //如果箭靶上的数目不为0，根据逆推，我们通过当前路径得不到箭靶上的结果
        }
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {//判断每一行是否为零
            if(rol[i]!=0)
            {
                return false;
            }
            //如果箭靶上的数目不为0，根据逆推，我们通过当前路径得不到箭靶上的结果
        }
        //如果都为零了 就说明这条路对了  然后把这条路线输出出来
        for(int i=0; i<res.size(); i++)
        {
            int x=res[i].first;
            //x 轴坐标
            int y=res[i].second;
            //y 轴坐标
            int sum=n*(x-1)+y-1 ;
            // 通过计算的到为题目要求的坐标系
            cout <<sum<< " ";
        }
        
        cout << endl;
        return false;
        // 成功终止
    }
    //没走到终点
    return true; //继续搜索
    //关于终止还是继续我们交给判定即可
}


//边缘判断条件
bool pd(int x2,int y2) //边界判断
{
    if(flag[x2][y2]==1)
        return 0;
    //已被走过，不能再走，超出边界
    else if(x2<1)
        return 0;
    //从左侧走出方格
    else if(x2>n)
        return 0;
    //从右侧走出方格
    else if(y2<1)
        return 0;
    //从上侧走出方格
    else if(y2>n)
        return 0;
    //从下侧走出方格
    
    //剪枝
    else if(col[x2]<=0)
        return 0;
    //没走到右下角，箭用完了
    else if(rol[y2]<=0)
        return 0;
    //没走到右下角，箭用完了
    
    
    else return 1;
    //符合边界条件，可以继续执行搜索
}


void dfs(int x,int y)
{
    if(!check(x,y))
    {
        return ;
        //包含不符合规则的地方，回溯，用于剪枝
    }
    else
    {
        for(int i=0; i<4; i++)
        {
            int xt=dx[i]+x;
            int yt=dy[i]+y;
            if(!pd(xt,yt))
            {
                continue ;
                //不符合要求继续换方向搜索
            }
            else
            {
                //因为要进行位置转移，我们给它起个名字，叫作案现场
                //比如向下移动
                flag[xt][yt]=true;
                col[xt]--;
                rol[yt]--;
                res.push_back({xt,yt});
                dfs(xt,yt);
                //搜索回溯后，因为没有找到正确答案，所以要回复作案现场，返回到搜索之前
                res.pop_back();
                flag[xt][yt]=false;
                col[xt]++;
                rol[yt]++;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cin >> rol[i];
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cin >> col[i];
    flag[1][1]=true;
    col[1]--;//先拔一根箭
    rol[1]--;//先拔一根箭
    res.push_back({1,1});
    dfs(1,1);
    return 0;
}
例题三：最大数字

输入样例：

cpp 复制代码 
123 1 2

输出样例：

cpp 复制代码 
933

题目分析：

从左到右 以此判断，从左边开始枚举。处理的时候的目的 就是保证当前正在处理的数尽可能的变大 。

使用的时候对于一个数要么使用方法一，要么使用方法二，因为它们是抵消的效果。

对于一个数字:

**操作二的使用情况：**如果这个数大于m（操作二的最大执行次数）,那么就没必要执行操作二了，这样反而让这个数据更小。因此执行操作二的条件是:x<m.

**操作一的使用情况：**如果这个数据x>=m我们就执行操作一，一直加尽量加到9，那么需要进行 9-x 次 操作一。当然可能此时 1 号操作并不足以让我们将 x 变成 9，但我们还是使用剩余的全部的次数将其变大，也就是变为x+t。因此，本次使用了操作一的次数为t=min(n,9-x).

题解代码示例：

cpp 复制代码 
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long LL;

char c[20];
LL ans=0;

//n:1号操作剩余次数  m:2号操作剩余次数
int n,m;
void dfs(int i,LL v){
	//从左往右	 
    int x=c[i]-'0';//数据转化 
    
    if(c[i]){//检查 c[i] 是否存在且不为空字符 
    	
        //应该使用的操作次数
        int t=min(n,9-x);
        n-=t;
        dfs(i+1,v*10+x+t);//递归调用
        //回溯
        n+=t;
        
        //考虑操作2是否能够使用
        //目的是减小到9 
        if(m>x){//只有在m>x 的情况下才使用
            m-=(x+1);
            dfs(i+1,v*10+9);//递归调用
            //回溯
            m+=(x+1);
        }
        
    }
    
	else{
        //答案取max
        ans=max(ans,v);
    }
}
int main()
{
    scanf("%s%d%d",c,&n,&m);
    dfs(0,0);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

方法二：（方法二存在样例不通过的情况 ）

cpp 复制代码 
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
typedef long long LL;

char c[20];
LL ans=0;

//n:1号操作剩余次数  m:2号操作剩余次数
int n,m;
void find_max(int i,LL v){
	//从左往右	 
    int x;//数据转化 
    int t;
    //用的是字符串 '\0' 
    while(c[i]){//检查 c[i] 是否存在且不为空字符 
    	x=c[i]-'0';//转换数字
		 
    	if(m<=x){//如果这个数 大于或等于 减一的操作次数  
        
			//应该使用的操作次数
        	t=min(n,9-x);//
        	n-=t;
        	v=v*10+x+t;//记录下来 x+t 加完后的数 
        	i++;
        	ans=max(ans,v);
    	}
        //考虑操作2是否能够使用
        //目的是减小到9 
        else{
        	v=v*10+9;
            m-=(x+1);
            i++;
            ans=max(ans,v);
	    }
	}
	
    
}
int main()
{
    scanf("%s%d%d",c,&n,&m);
    find_max(0,0);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

广度优先搜索（Breadth First Search，简称BFS）：从某个状态开始，将所有节点加入一个先进先出的队列，然后一层层进行状态转移，并且展开节点。

广度优先搜索基本概念

伪代码：

cpp 复制代码 
int check(参数)
{
    if(满足条件)
        return 1;
    return 0;
}
bool pd(参数){
    相应操作
}
void bfs()
{
    1. 把根节点放入队列尾端
    2. 每次从队列中取出一个节点
    3. Check 判断是不是答案，如果是结束算法 return;
    4. 把当前取出的节点扩展，如果扩展后的节点经Pd()后符合要求，就放入队列，不符合就不放。
    5. 转到步骤2，循环执行
}

如果所有节点被扩展完了，没有找到答案就无解。

广度优先搜索（BFS）算法例题

例题一：长草问题

输入示例：

cpp 复制代码 
4 5
.g...
.....
..g..
.....
2

输出示例：

cpp 复制代码 
gggg.
gggg.
ggggg
.ggg.

解题思路：使用 N × M N×M N×M 的矩阵来表示草地。

  1. 将字母g的位置加入队列
  2. 判断边界：
    判断是否长草，是否超出范围
  3. 搜索
    不断从队列中取出一个节点，进行上下左右的扩展，执行2的判断边界条件，符合的就放入队列，不符合就跳过。
    执行K次扩展，输出草地状态
  4. check()函数：
    本题输出最终状态 因此不用这个函数

在广度优先搜索（BFS）中，我们通常需要对队列中的节点进行扩展，也就是对当前节点的邻居节点进行处理。处理完一个节点后，我们应该将其从队列中移除，以避免重复处理相同的节点，确保每个节点只被处理一次。

因此需要：

cpp 复制代码 
	tempPair = q.front();
    q.pop();
    //这两步是取出队首的节点

题解代码示例：

cpp 复制代码 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M = 1005;

struct PII//坐标
{
    int first;
    int second;
};

// C++ 有个数据类型叫 pair 上面的就可以定义为 pair<int,int> 用起来比较方便。
PII tempPair;//临时结点

char Map[M][M];

//---------图的路径搜索常用方向移动表示-------
int dx[4]= {0,1,-1,0};
int dy[4]= {1,0,0,-1};
// 两两组合形成上下左右四个方向
//      1------------------> x
//      |
//      |
//      |
//      |
//      |
//      |
//      |
//      ↓
//      y

// dx[0]=0 dy[0]=1 那么代表向下的方向

// dx[1]=1 dy[1]=0 那么代表向右的方向

// dx[2]=-1 dy[0]=0 那么代表向左的方向

// dx[3]=0 dy[1]=-1 那么代表向上的方向

int n;// n 行
int m;// m 列
int k;// k 次

//记录 坐标位置
queue<PII > q; //广度优先搜索所用的队列

int len;//记录节点数量方便后续k的计算

bool pd(int x, int y)
{
    if(x<1)
        return 0;
    // /x 轴坐标 左侧越界
    else if(x>n)
        return 0;
    //x 轴坐标 右侧越界
    else  if(y<1)
        return 0;
    //y 轴坐标 上侧越界
    else if(y>m)
        return 0;
    //y 轴坐标 下侧越界
    else if(Map[x][y]=='g')
        return 0;
    //已经长草了
    else return 1;
    // 在范围内，且没长草
}

void BFS()
{
    //BFS 
    //记得 层次
    while(!q.empty()&&k>0)
    {
        tempPair = q.front();
        q.pop();
        //这两步是取出队首的节点

        int x = tempPair.first;//横坐标
        int y = tempPair.second;//纵坐标
        //四种扩展情况
        for(int i=0; i<4; i++)
        {
            int nowx = x+dx[i]; //扩展后的横坐标
            int nowy = y+dy[i]; //扩展后的纵坐标

            if(pd(nowx,nowy))
            {
                q.push({nowx,nowy});
                Map[nowx][nowy]='g';
            }
            //符合要求执行扩展，不符合要求，忽略即可。
        }

        len--; //每扩展一个节点len  -1

        if(len==0)
        {
            //当len =0 时，代表当前层扩展完了，那么就代表第一个月扩展完了
            k--; // 所以k--
            //更新草的数目
            len = q.size(); // 当前层扩展完了，那就该扩展下一层了，所以len又被赋值为下一层的节点数目的值
        }
    }
}

int main()
{
    //输入
    cin>>n>>m;
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        for(int j=1; j<=m; j++)
        {
            cin>>Map[i][j];
            if(Map[i][j]=='g')
            {
                tempPair.first=i;
                tempPair.second=j;
               // cout<<i<<""<<j<<endl;
                q.push(tempPair);//将初始有树的结点加入队列
            }
        }
    }

    len = q.size();//记录第一层的节点数量方便后续k的计算
    cin>>k;
    BFS();

    //输出
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        for(int j=1; j<=m; j++)
        {
            cout<<Map[i][j];
        }

        cout<<endl;
    }
    return 0;
}
例题二：走迷宫问题

输入示例：

cpp 复制代码 
5 5
1 0 1 1 0
1 1 0 1 1
0 1 0 1 1
1 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 1 5 5

输出示例：

cpp 复制代码 
8

解题分析：

题解代码示例：

cpp 复制代码 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int vis[150][150]; //用于存储是否访问过，并且存储长度

char G[150][150]; //用于存储题目给出的地图

int n,m,ans=0;

int dx[4] = {0,0,-1,1};

int dy[4] = {1,-1,0,0};

//上下左右移动

struct node
{
    int x;
    int y;
};

node Start,End;
bool pd(int x,int y)
{


    if(x<1)
        return 0;
    //从左侧走出方格

    else if(x>n)
        return 0;
    //从右侧走出方格

    else if(y<1)
        return 0;
    //从上侧走出方格

    else if(y>m)
        return 0;
    //从下侧走出方格

    else if( vis[x][y]!=0)
        //已经访问了
        return 0;
    else if(G[x][y]!='1') return 0;
    //不是路不能走
    else return 1;
}

bool  check(int x, int y)
{

    if(x == End.x&& y == End.y)   //找到终点，把距离给他
    {
        ans  =  vis[x][ y];
        return 1;
    }

    else    return 0;

}
void bfs()
{
    queue<node>q;

    node now,next;

    q.push(Start);     //将起点压人队列中

    vis[Start.x][Start.y] = 1;

    while(!q.empty())
    {
        now = q.front();

        if(check(now.x,now.y))
            return ;

        q.pop();     //将队列最前面的弹出。

        for(int i=0; i<4; i++)  //四个方向
        {

            int nextx = now.x + dx[i];
            int nexty = now.y + dy[i];

            if(pd(nextx,nexty))  //判断是否符合条件
            {

                next.x=nextx;
                next.y=nexty;

                q.push(next);

                vis[nextx][nexty] = vis[now.x][now.y]+1; //步数+1
            }
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    //memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        for(int j=1; j<=m; j++)
        {
            cin>>G[i][j];
        }
    }

    cin>>Start.x>>Start.y>>End.x>>End.y;

    ans = 0;

    bfs();
    cout<<ans-1<<endl;

    return 0;
}

感谢您的阅读！！！

【数据结构与算法】系列文章链接: 【数据结构与算法】递推法和递归法解题（递归递推算法典型例题）

【数据结构与算法】系列文章链接: 【数据结构与算法】C++的STL模板（迭代器iterator、容器vector、队列queue、集合set、映射map）以及算法例题

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