1. 堆的概念及结构
如果有一个关键码的集合K = { ， ， ，...， }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储
在一个一维数组中，并满足： <= 且 <= ( >= 且 >= ) i = 0，1，
2...，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。
堆的性质：
堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树。
2. 堆的实现
1.堆的创建
下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。
int a[] = {1,5,3,8,7,6};
2. 建堆时间复杂度
因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：
因此：建堆的时间复杂度为O(N)。
3.堆的插入
先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。
4.堆的删除
删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。
5.堆向下调整算法
现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。
3.代码深度解析
1.首先弄一个交换数据
交换两个指针所指向的变量的值
通过解引用操作符*，将p2指针所指向的变量的值赋给了p1指针所指向的变量，将之前存储在temp中的值赋给了p2指针所指向的变量，完成了交换。
void Swap(HPDataType *p1, HPDataType *p2)
{
HPDataType temp = *p1;
*p1 =*p2;
*p2 = temp;
}
2.向上调整堆
将数组a中指定索引child的元素向上调整，使其在最小堆中满足最小堆的性质
通过计算child的父节点索引，即(parent = (child - 1) / 2)，确定了父节点的位置。在循环中，child的元素比父节点的元素小调用Swap函数，将child和parent指向的元素进行交换。然后，代码更新child和parent的值，将child变为parent，parent变为(child - 1) / 2，继续循环。如果不是，即child的元素不小于父节点的元素，代码通过break语句跳出循环，这时已经完成了向上调整的操作。
void AdjudtUp(HPDataType* a, int child)
{
int parent = (child - 1) / 2;
while (child > 0)
{
if (a[child] < a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
}
else
{
break;
}
}
}
3.向下调整堆
调整小顶堆的算法，接受一个int类型的指针a，表示一个数组，size表示数组的大小， parent表示要调整的节点位置
void AdjustDown(int* a, int size, int parent)
{
int child = parent * 2 + 1;
while (child < size)
{
if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child])
{
++child;
}
if (a[child] < a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
4.堆的插入
堆已满，则需要扩容。然后，将原来的内存空间指针hp->_a指向新分配的内存空间，更新堆的容量为新的容量。将要插入的元素x赋值给堆的最后一个位置hp->_a[hp->_size]，然后增加堆的大小hp->_size++。最后，调用AdjustUp函数将新插入的元素向上调整，以维护堆的性质
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x)
{
assert(hp);
if (hp->_size == hp->_capacity)
{
int newCapacity = hp->_capacity == 0 ? 4: hp->_capacity * 2;
HPDataType*temp = (HPDataType*)realloc(hp->_a, newCapacity * sizeof(HPDataType));
if (temp == NULL)
{
perror("realloc fail");
exit(-1);
}
hp->_a =temp;
hp->_capacity = newCapacity;
}
hp->_a[hp->_size] = x;
hp->_size++;
AdjudtUp(hp->_a,hp->_size-1);
}
5.堆的创建
初始化后再通过for循环遍历数组a，并调用HeapPush函数将数组中的元素依次插入到堆中
void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType *a, int n )
{
assert(hp);
hp->_size = 0;
hp->_capacity =NULL;
// 将数组a中的元素依次插入堆中
for (int i = 0; i < n; i++) {
HeapPush(hp, a[i]);
}
}
6.堆的销毁
使用free函数释放堆的数组hp->_a的内存空间
void HeapDestory(Heap* hp)
{
assert(hp);
free(hp->_a);
hp->_a = NULL;
hp->_size =hp->_capacity=0;
}
7.堆的删除
调用AdjustDown()函数，从堆顶开始向下调整堆，以保持堆的性质
void HeapPop(Heap* hp)
{
assert(hp);
assert(hp->_size > 0);
Swap(&hp->_a[0], &hp->_a[hp->_size - 1]);
hp->_size--;
AdjustDown(hp->_a, hp->_size, 0);
}
8.取堆顶的数据
函数返回堆中数组_a的第一个元素即堆顶的数据
取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp)
{
assert(hp);
assert(hp->_size > 0);
return hp->_a[0];
}
9.堆的数据个数
返回堆的_size成员，即堆的大小
int HeapSize(Heap* hp)
{
assert(hp);
return hp->_size;
}
10. 堆的判空
-
通过断言
assert(hp);来确保传入的参数hp不为NULL。 -
然后，通过判断堆的大小
hp->_size是否为0来判断堆是否为空。 -
如果堆的大小为0，则返回1（即堆为空），否则返回0（即堆不为空）
int HeapEmpty(Heap* hp)
{
assert(hp);
return hp->_size == 0;
}
4.总的代码
1.heap.h
#pragma once
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#include<stdbool.h>
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
HPDataType* _a;
int _size;
int _capacity;
}Heap;
//数据交换
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2);
//向上堆的调整
void AdjudtUp(Heap* _a, int child);
// 向下调整堆
void AdjustDown(int* a, int size, int parent);
// 堆的构建
//void HeapCreate(Heap* hp);//, HPDataType* a, int n
void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType* a, int n);
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp);
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x);
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp);
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp);
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp);
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp);
2.Heap.c
#include"Heap.h"
//交换数据
void Swap(HPDataType *p1, HPDataType *p2)
{
HPDataType temp = *p1;
*p1 =*p2;
*p2 = temp;
}
//向上调整堆
void AdjudtUp(HPDataType* a, int child)
{
int parent = (child - 1) / 2;
while (child > 0)
{
if (a[child] < a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
}
else
{
break;
}
}
}
// 向下调整堆
void AdjustDown(int* a, int size, int parent)
{
int child = parent * 2 + 1;
while (child < size)
{
if (child + 1 < size && a[child + 1] < a[child])
{
++child;
}
if (a[child] < a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x)
{
assert(hp);
if (hp->_size == hp->_capacity)
{
int newCapacity = hp->_capacity == 0 ? 4: hp->_capacity * 2;
HPDataType*temp = (HPDataType*)realloc(hp->_a, newCapacity * sizeof(HPDataType));
if (temp == NULL)
{
perror("realloc fail");
exit(-1);
}
hp->_a =temp;
hp->_capacity = newCapacity;
}
hp->_a[hp->_size] = x;
hp->_size++;
AdjudtUp(hp->_a,hp->_size-1);
}
// 堆的构建
//void HeapCreate(Heap* hp)//HPDataType* a, int n
//{
// assert(hp);
// hp->_size = 0; // 初始化堆的大小为0
// hp->_capacity = 0; // 设置堆的容量为n
// hp->_a = NULL;
//
// 将数组a中的元素依次插入堆中
// //for (int i = 0; i < n; i++) {
// // HeapPush(&hp, a[i]);
// //}
//}
void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType *a, int n )
{
assert(hp);
hp->_size = 0; // 初始化堆的大小为0
hp->_capacity =NULL; //
hp->_a = NULL;
// 将数组a中的元素依次插入堆中
for (int i = 0; i < n; i++) {
HeapPush(hp, a[i]);
}
}
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp)
{
assert(hp);
free(hp->_a);
hp->_a = NULL;
hp->_size =hp->_capacity=0;
}
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp)
{
assert(hp);
assert(hp->_size > 0);
Swap(&hp->_a[0], &hp->_a[hp->_size - 1]);
hp->_size--;
AdjustDown(hp->_a, hp->_size, 0);
}
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp)
{
assert(hp);
assert(hp->_size > 0);
return hp->_a[0];
}
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp)
{
assert(hp);
return hp->_size;
}
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp)
{
assert(hp);
return hp->_size == 0;
}
2.Test.c
#include"Heap.h"
void test()
{
Heap sl;
int a[10] = { 10,8,2,4,5,3,6,7,9,1 };
/*HeapCreate(&sl);
for (int i = 0;i < sizeof(a) / sizeof(int); i++)
{
HeapPush(&sl, a[i]);
}*/
HeapCreate(&sl,a, sizeof(a) / sizeof(int));
while (!HeapEmpty(&sl)) {
printf("%d ", HeapTop(&sl));
HeapPop(&sl);
}
printf("\n");
}
int main()
{
test();
return 0;
}
