前言
本次博客会介绍一维和二维的前缀和，以及一维二维差分的基本使用，尽量画图，多使用配合文字
使大家理解，希望有所帮助吧
一维前缀和
问题描述
这里有一个长度为n的数组，我们要算出【2,5】区间的元素和
暴力思路
要计算一个数组区间的和可以直接把它遍历一遍，其实相信大家肯定可以敲出这个简单的代码
我们这里简单的敲一敲
//这里可以改变数组的大小
#define N 10
int main()
{
int arr[N] = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 };
printf("请输入两个数表示区间");
//表示两个区间
int left;
int right;
long long sum = 0;
scanf("%d %d",&left,&right);
for (int i = left; i <= right; i++)
sum+=arr[i];
printf("%lld",sum);
return 0;
}
这里的时间复杂就是0(n)
如果我们要计算m次区间和的话时间复杂度为o(n*m)
前缀和思路
我们可以直接用一个sum数组分别去记录它的前n项和
数组的下边代表项数
举个例子
有一个数组 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
那么它的sum数组为 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55
每一个元素都是前n项和 数组的下标+1代表几个元素的和
公式 sum[i]=sum[i-1]+arr[i];
这里是递推式，后一项由前一项得到，算了怕大家不懂
sum[0]=arr[0]
sum[1]=sum[0]+arr[1]
sum[2]=sum[1]+arr[2]
```````````
这下该懂了吧，我们可以通过sum数组来求区间和
看图
大家看到了，我们只要sum[right]-sum[left-1]就可以解决问题 o(1)
区间分析
大家看 如果是[0,5]区间那么他就有可能会出现越界的情况呀
毕竟是sum[5]-sum[-1],那不就错了吗
所以我们的sum数组应该从1开始的我们默认让sum[0]=0
这样就不会出现区间问题，而此时区间代表的就不是数组下标而是第几个数到第几个数
ok
看代码吧
int sum[11] = {0};
int main()
{
int arr[10] = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 };
int l, r;
printf("请输入两个数,表示左右区间");
scanf("%d %d", &l, &r);
int size = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
//计算前缀和数组
for (int i = 1; i <=size; i++)
{
sum[i] = sum[i - 1] + arr[i-1];
}
int result = sum[r] - sum[l - 1];
printf("%d",result);
return 0;
}
这样就可以降低时间复杂度了
一维差分
问题描述
有一个 数组，我们要对 [left,right] 区间的元素进行加减操作 操作m次
暴力思路
还是这样，我们还是遍历一遍区间，然后进行操作
其实暴力代码还是一样的，这里还是别懒了，再给大家操作一遍
//这里可以改变数组的大小
#define N 10
int main()
{
int arr[N] = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 };
printf("请输入两个数表示区间");
//表示两个区间
int left;
int right;
scanf("%d %d",&left,&right);
printf("请输入操作数");
int a;
scanf("%d",&a);
for (int i = left; i <= right; i++)
arr[i]+=a;
for(int i=0;i<N;i++)
printf("%d",arr[i]);
return 0;
}
差分思路
我们先算一遍差分数组
比如 有一个数组arr[10]={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
我们先算一个d[10]数组
d[0]=arr[0] d[1]=arr[1]-arr[0] d[2]=arr[2]-arr[1] d[3]=arr[3]-arr[2]
······d[9]=arr[9]-arr[8]
那么d[10]={1,1,1,1,1,1,1,1,1,1};
差分数组的性质
1 大家发现没，差分和前缀和是逆运算，也就是我们可以通过前缀和的公式计算差分数组得到原数组
2 差分数组的前面元素加上或减去一个数，在进行前缀和后会把所加的数的影响给到后面的元素
可以举例
比如一个差分数组
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
我们让第一个数加上一个1 变成
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
通过前缀和，所求的原数组为
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
这种影响会从前到后影响
对吧，那么如何解决问题呢，只要控制影响，利用差分数组的逆过来求前缀和数组
最后把结果加入到所求的数组中完成任务
那我们还是画个图，来理解
接下来看代码
//差分
//差分可以让某个区间全体加上或减去一个数
//除去差分数组可达到o(1)的时间复杂
int sub[20] = {0};
void fun(int left, int right, int num)
{
sub[left] += num;
sub[right+1]-=num;//只要数组的大小大于计算数组就不用担心越界问题
}
int main()
{
int arr[10] = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 };
int size = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
//差分其实是前缀的逆运算
//也就是可以说差分后再前缀可以得到原来的数组
//所以完全可以不用去算差分数组而是创建一个数组把它当成
//差分数组，再求前缀和，把它与原来的数组相加可以得到结果
fun(1, 2, 5);
for (int i = 1; i < size; i++)
{
sub[i] += sub[i - 1];
}
for (int i = 0; i < size; i++)
arr[i] += sub[i];
for (int i = 0; i < size; i++)
printf("%d ", arr[i]);
return 0;
}
总结
这个逻辑实现确实比较的简单，但是仍然有很多的细节，尤其是边界问题，
这两种算法可以说非常常用，下次博客再写一写二维的前缀和差分吧