4. 寻找两个正序数组的中位数

Problem: 4. 寻找两个正序数组的中位数

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思路
解题方法
复杂度
Code

思路

思路一：可以合并两个数组，然后排序，时间复杂度 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)，空间复杂度 O ( 1 ) O(1) O(1)
思路二：利用归并思想，合并两个数组，并按照合并后的数组的长度的奇偶返回中位数，时间复杂度 O ( n ) O(n) O(n)，空间复杂度 O ( n ) O(n) O(n) 需要一个辅助数组
思路三（看的参考答案）：二分

中位数把大的数组均分为两份，记合并后的有序数组nums长度为n：

如果n为奇数，那么中位数就是nums $n//2$ ，此时nums的两边的元素个数为(n+1)//2（包含中位数）
如果n为偶数，那么中位数就是(nums $n//2$ + nums $n//2+1$ ) / 2，此时nums的两边的元素个数为n//2
由于是地板除，所以单侧元素的个数可以写为(n+1)//2，记为k

当确定nums1中的元素为m1时候，那么nums2中的元素只需要确定k-m1个，就可以找到中位数。

此时问题变为了，如何从nums1中寻找m1的位置=》【二分查找】

令指针l、r分别指向nums1的起始和nums的末尾

m1=l+r>>1

m2=k-m1

当nums1 $m1$ < nums2 $m2-1$ 时：nums1中有m1个元素(nums $0$ ...nums $m1-1$ )比nums $m1$ 小，nums2中最多有m2-1个元素比nums $m1$ 小，共计m1+m2-1=k-1，所以m1不可能是第k个元素，需要往右移动，l=m1+1
当nums1 $m1$ >= nums $m2-1$ 时，需要往左移动，r=m1

最终就可以得到nums1的个数m1=l

nums2的个数为m2=k-c1

接下来就是判断长度为奇偶和处理边界

当长度为奇数的时候可以直接返回奇数位置
偶数时候，需要返回中间两个元素的均值
需要注意，可能m1和m2可能会越界
具体而言，当寻找左侧元素c1的时候，m1和m2可能会<=0（数组递增，所以此时标记为-inf），此时需要特判
当寻找右侧元素（偶数）时候，m1和m2可能会超过各自数组的长度（数组递增，所以此时标记为inf），此时也需要特判

解题方法

二分查找

复杂度

时间复杂度: O ( l o g 2 ( m + n ) ) O(log_2(m+n)) O(log2(m+n)) 二分

空间复杂度: O ( 1 ) O(1) O(1) 若干常数中间变量

Code

Python3 复制代码

class Solution:
    def findMedianSortedArrays(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> float:
        n1 = len(nums1)
        n2 = len(nums2)
        if n1 > n2: return self.findMedianSortedArrays(nums2, nums1)

        l, r = 0, n1
        k = (n1 + n2 + 1) // 2
        while l < r:
            m1 = l + r >> 1
            m2 = k - m1
            if nums1[m1] < nums2[m2-1]:
                l = m1 + 1
            else:
                r = m1
        m1 = l
        m2 = k - m1
        c1 = max(float('-inf') if m1 <= 0 else nums1[m1 - 1], float('-inf') if m2 <= 0 else nums2[m2 - 1])
        if (n1 + n2) % 2 == 1:
            return c1
        c2 = min(float('inf') if m1 >= n1 else nums1[m1], float('inf') if m2 >= n2 else nums2[m2])

        return (c1 + c2) / 2