2023年蓝桥杯大学A组第二题：有奖问答（一维动态规划解法）

题目描述

小蓝正在参与一个现场问答的节目。

活动中一共有 30 道题目，每题只有答对和答错两种情况，每答对一题得 10 分，答错一题分数归零。

小蓝可以在任意时刻结束答题并获得目前分数对应的奖项，之后不能再答任何题目。

最高奖项需要 100 分，所以到达 100 分时小蓝会直接停止答题。

已知小蓝最终实际获得了 70 分对应的奖项，请问小蓝所有可能的答题情况有多少种?

本题的结果为一个整数，在提交答案时只输出这个整数，输出多余的内容将无法得分。

解题思路

根据题目可知，在题目数≥8题时，最后8题一定是【×+8√】，只需考虑除最后8题前面题目的作答情况。

考虑一维动态规划，f[i]定义为i个题时，小蓝获得70分的答题情况的种类数，状态转移过程可以表示为，从i-1道题到i道题过程中，最前面的题作答是√还是×，若不考虑任何条件，则f[i]=2f[i-1]，即每多一道题，前面的题可以是两种情况，相乘即可。

初始状态：f[7]=1（全对），f[8]=1，考虑到100分会直接停止，在i=8到17的过程中，除最后8题，前面的题不可能出现得100分的情况，故f[i]=2f[i-1]。

i=18时，若最前面的题为√，则会出现100分的情况，故f[18]=2*f[17]-1

i=19时，i＝18包含【9√+x+x+9√】的情况，此时若最前面的题为√，则会直接停止，f[19]=2*f[18]-1

考虑前面9题均为√的情况，可以推得i=19到i=28时，状态转移方程为f[i]=2f[i-1]-2^(i-19)

i=29，需考虑i=28时存在【9√+x+10√+×+9√】情况，同理i=30需考虑i=29的特殊情况。

最后将f[7]~f[30]进行相加得到答案：8335366

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
	vector<int> f(31, 0);
	f[7] = 1;
	f[8] = 1;
	for (int i = 9; i < 18; i++)
		f[i] = 2 * f[i - 1];
	f[18] = 2 * f[17] - 1;
	int t = 1;
	for (int i = 19; i <= 28; i++)
	{
		f[i] = 2 * f[i - 1]-t;
		t *= 2;
	}
	f[29] = 2 * f[28] - (t - 1);
	t *= 2;
	f[30] = 2 * f[29] - (t - 3);
	int sum = 0;
	for (int i = 7; i <= 30; i++) {
		sum += f[i];
	}
	cout << sum;
	return 0;
}