【图论】图论基础

图论不同地方讲的不太一样，本文仅限作者的理解

定义

图一般由点集 V V V 和边集 E E E 组成。

对于 v ∈ V v\in V v∈V，称 v v v 为该图的一个节点。

对于 e ∈ E e\in E e∈E，一般用二元组 ( u , v ) (u,v) (u,v) 表示 e e e，其中 u , v ∈ V u,v\in V u,v∈V。在无向图中，该二元组无序，即边为双向；在有向图中，该二元组有序，即边为单向。

一个带有边权（边的长度）的图称为带权图，此时边一般记为 ( u , v , w ) (u,v,w) (u,v,w)。

下面分别是一个无向图和一个有向图的例子：

连通性

从一个图中选出一些节点和边，构成一个合法的新图，称做原图的子图。

扩展至最大的符合某一要求的子图被称为分量。

通过图中的边可以使节点之间联通（单向联通也算）的图称做连通图。

节点之间两两可以互相到达的有向图被称做强联通图。

如果一个图中某一个点及其边被删去后，图将不再联通，则称该点为原图的一个割点。

没有割点的图被称为点双连通图。

如果一个图中某一条边被删去后，图将不再联通，则称该边为原图的一个割边。

没有割边的图被称为边双连通图。

读者可以自行理解联通子图、联通分量、强连通子图、强连通分量、点双联通子图、点双联通分量、边双联通子图、边双联通分量等概念。

树与环

一个没有环的图称为无环图。

一个没有环的有向图称为有向无环图（DAG）。

一个没有环且联通的无向图称为树。

一个有恰一个环且联通的无向图称为基环树。

一个是树且包含所有节点的子图称为原图的生成树。

存储

一般有两种存储方式，邻接矩阵和邻接表。

邻接矩阵

使用一个矩阵来存储图，对于矩阵中的一个元素 G u , v G_{u,v} Gu,v：

在无权图中， u , v u,v u,v 之间有边为 1 1 1，无边为 0 0 0；

在带权图中， u , v u,v u,v 之间有边为 w w w，无边为 inf ⁡ \inf inf。

邻接表

使用多个数组来存储图，对于每一个数组 G u G_u Gu

在无权图中， u , v u,v u,v 间有边则加入 v v v；

在带权图中， u , v u,v u,v 间有边则加入有序二元组 ( v , w ) (v,w) (v,w)。

代码

分为定义，输入和遍历三部分

邻接矩阵

cpp 复制代码

int G[N][N];
memset(G,0,sizeof(G));//无权
memset(G,INF,sizeof(G));//带权

cpp 复制代码

for (int i=1;i<=m;i++){
	//无权
	int u,v;
	cin>>u>>v;
	G[u][v]=1;
	G[v][u]=1;//仅限无向图
	//带权
	int u,v,w;
	cin>>u>>v>>w;
	G[u][v]=w;
	G[v][u]=w;//仅限无向图
}

cpp 复制代码

for (int u=1;u<=n;u++) for (int v=1;v<=n;v++)
	if (G[u][v])//无权
	if (G{u][v]!=INF)//带权

邻接表

cpp 复制代码

vector<int> G[N];//无权
//带权
struct edge{int v,w;};
vector<edge> G[N];

cpp 复制代码

for (int i=1;i<=m;i++){
	//无权
	int u,v;
	cin>>u>>v;
	G[u].push_back(v);
	G[v].push_back(u);//仅限无向图
	//带权
	int u,v,w;
	cin>>u>>v>>w;
	G[u].push_back({v,w});
	G[v].push_back({u,w});//仅限无向图
}

cpp 复制代码

for (int u=1;u<=n;u++)
	for (int v:G[u])//无权
	for (edge e:G[u])//带权