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392.判断子序列
文章链接：392.判断子序列
视频链接：动态规划，用相似思路解决复杂问题 | LeetCode：392.判断子序列
状态：本题是编辑距离类题目的基础题，非常重要！
对于给定的字符串s和t，我们需要判断字符串s是不是字符串t的子序列，而且并不要求s在t中为连续。其实我们也可以理解成，字符串t匹配s，如果遇到不相同的元素，字符串t就删除元素，如果t能和s完全相同，那么就返回true
其实本题可以使用双指针来解题，时间复杂度也是O(n)，后续会给出答案。
那么为什么本题能够使用动态规划的方法呢？对于子序列问题就有最优子结构的性质。最优子结构意味着原问题的最优解可以由子问题的最优解推导出来。
思路
- dp数组下标以及含义
老一样：
dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]。
这里设置成相同子序列长度，为了保证最后i能够全部匹配上j。如果s的长度为3，那么就必须保证对于某个j而言dp[3][j]为3
这里为什么要定义成下标i-1为结尾和以下标j-1为结尾呢？因为如果以i、j结尾，会让初始化的写法非常麻烦。
- 确定递推公式
递推公式主要有两种操作：
-
if (si - 1 == tj - 1)
- t中找到了一个字符在s中也出现了。找到了一个相同的字符，相同子序列长度自然要在
dp[i-1][j-1]的基础上加1
- t中找到了一个字符在s中也出现了。找到了一个相同的字符，相同子序列长度自然要在
-
if (si - 1 != tj - 1)
- 相当于t要删除元素，继续匹配。
t如果把当前元素t[j - 1]删除，那么dp[i][j]的数值就是继承自s[i-1]与t[j-2]的比较结果了 ，从代码上的体现来看就是：dp[i][j] = dp[i][j - 1];
- 相当于t要删除元素，继续匹配。
cpp
if (s[i - 1] == t[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
else dp[i][j] = dp[i][j - 1];- 初始化
从递推公式可以看出，我们dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j-1]，也就是说，我们的当前格子需要左上方格子和左边格子才能推导出来。
通过本图片，我们也可以看出为什么要表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]。就是为了在二维句珍重可以留出初始化空间。
- 确定遍历顺序
根据递推公式来的，从上到下，从左到右
- 举例推导dp数组
以示例一为例，输入：s = "abc", t = "ahbgdc"，dp状态转移图如下：
CPP代码
cpp
class Solution {
public:
bool isSubsequence(string s, string t) {
vector<vector<int>> dp(s.size() + 1, vector<int>(t.size() + 1, 0));
for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {
if (s[i - 1] == t[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
else dp[i][j] = dp[i][j - 1];
}
}
if (dp[s.size()][t.size()] == s.size()) return true;
return false;
}
};115.不同的子序列
视频讲解：动态规划之子序列，为了编辑距离做铺垫 | LeetCode：115.不同的子序列
文章讲解：115.不同的子序列
KMP算法求的是连续序列，本题中仅仅是来求子序列（字符串的一个 子序列 是指，通过删除一些（也可以不删除）字符且不干扰剩余字符相对位置所组成的新字符串。）
思路
- 确定dp数组下标以及含义
dp[i][j]：以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[i][j]。
- 确定递推公式
这一类问题，基本是要分析两种情况，这里是跟上一题一样的
- si - 1 与 tj - 1相等
当si - 1 与 tj - 1相等时，dp[i][j]可以有两部分组成。
一种是使用s[j-1]来匹配字符串，另一种是不使用s[j - 1]来匹配字符串（因为s中可能有多个字符能与t[j - 1]）匹配。
所以我们的递推公式
cpp
if (s[i - 1] == t[j - 1]){
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];//分别对应用s[j-1]匹配和不用s[j-1]匹配
}
- 使用
s[i - 1]来匹配t[j - 1]，此时s的前i个字符匹配t的前j个字符，可以看作是在s的前i - 1个字符匹配t的前j - 1个字符的基础上，将s[i - 1]与t[j - 1]匹配起来。因此，此时dp[i][j]应该等于dp[i - 1][j - 1]。- 不使用
s[i - 1]来匹配t[j - 1]，而是保持s的前i - 1个字符匹配t的前j个字符，即s的前i个字符在t的前j个字符中的匹配方式不依赖于s[i - 1]，而是与s[i - 2]以及t[j - 1]的匹配方式相关。因此，此时dp[i][j]应该等于dp[i - 1][j]。- 并且要注意的是这里的结果是相加的！
- si - 1 与 tj - 1 不相等
当s[i - 1] 与 t[j - 1]不相等时，dp[i][j]只有一部分组成，不用s[i - 1]来匹配（就是模拟在s中删除这个元素），此时的状态还是依赖于s[i-1]的前一个元素即：dp[i - 1][j]
- dp数组的初始化
还是从递推公式来的，所以我们必须初始化dp[i][0]和dp[0][j]
从递推公式的定义出发，
那么dp[i][0]一定都是1，因为也就是把以i-1为结尾的s，删除所有元素，出现空字符串的个数就是1。
那么dp[0]j一定都是0，s如论如何也变成不了t。
dp[0][0]呢？那必然是1，因为空字符串s可以删除0个元素，变成空字符串t
cpp
vector<vector<long long>> dp(s.size() + 1, vector<long long>(t.size() + 1));
for (int i = 0; i <= s.size(); i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 1; j <= t.size(); j++) dp[0][j] = 0; - 确定遍历顺序
关于遍历顺序从上图也能看出，总左到右，从上到下
- 打印dp数组
CPP代码
cpp
class Solution {
public:
int numDistinct(string s, string t) {
vector<vector<uint64_t>> dp(s.size() + 1, vector<uint64_t>(t.size() + 1));
for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 1; j < t.size(); j++) dp[0][j] = 0;
for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {
for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {
if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
} else {
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
}
}
}
return dp[s.size()][t.size()];
}
};