【图论】Floyd

OIer-zyh2024-05-08 8:48

算法-Floyd

前置知识

dp基础
图论基础

思路

Floyd 是一种优秀的全源最短路算法。

它的执行过程类似于 dp，如下：

首先我们定义 d [ i ] [ j ] d[i][j] d[i][j] 为节点 i i i 到节点 j j j 的最短距离。

我们枚举中转节点 k k k，再枚举两个节点 i , j i,j i,j，显然得到转移方程 d [ i ] [ j ] = min ⁡ ( d [ i ] [ j ] , d [ i ] [ k ] + d [ k ] [ j ] ) d[i][j]=\min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]) d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j])。

结束遍历后， d [ i ] [ j ] d[i][j] d[i][j] 即为答案。

算法参数

时间复杂度： O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)
空间复杂度： O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)

实现代码

cpp 复制代码

for (int k=1;k<=n;k++)
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=n;j++)
			d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);

练习

注：在稀疏图中，Floyd 不如跑 n n n 遍 Dijkstra。但是 Floyd 其实是一种 ( min ⁡ , + ) (\min,+) (min,+) 的广义矩阵乘法，所以有时可以用于解决进阶问题。