一、发展动机
为解决UserCF和ItemCF协同过滤算法中头部效应明显，处理稀疏向量能力弱的问题，同时增加模型的泛化能⼒，矩阵分解技术被提出。
二、矩阵分解算法
该⽅法在协同过滤共现矩阵的基础上，使⽤更稠密的隐向量表⽰⽤户和物品，挖掘⽤户和物品的隐含兴趣和隐含特征，在⼀定程度上 弥补了协同过滤模型处理稀疏矩阵能⼒不⾜的问题。
2.1、主要原理
矩阵分解算法则期望为每⼀个⽤户和视频⽣成⼀个隐向量，将⽤ 户和视频定位到隐向量的表⽰空间上，距离相 近的⽤户和视频表明兴趣特点接近，在推荐过程中，就应该把距离相 近的视频推荐给⽬标⽤户。
2.2、如何得到隐向量
在"矩阵分解"的算法框架下，⽤户和物品的隐向量是通过分解协 同过滤⽣成的共现矩阵得到的，这也是"矩阵分解"名字的由来。
矩阵分解算法将m×n维的共现矩阵R分解为m×k维的⽤户矩阵U和k× n维的物品矩阵V相乘的形式。其中m是⽤户数量，n是物品数量，k是隐 向量的维度。k 的⼤⼩决定了隐向量表达能⼒的强弱。k 的取值越⼩， 隐向量包含的信息越少，模型的泛化程度越⾼；反之，k 的取值越⼤，隐向量的表达能⼒越强，但泛化程度相应降低。
此外，k 的取值还与矩 阵分解的求解复杂度直接相关。在具体应⽤中，k的取值要经过多次试 验找到⼀个推荐效果和⼯程开销的平衡点。
2.3、预估评分
基于⽤户矩阵 U和物品矩阵 V，⽤户 u对物品 i的预估评分：
其中 pu是⽤户 u 在⽤户矩阵 U 中的对应⾏向量，qi是物品 i 在物 品矩阵 V中的对应列向量。
三、矩阵分解算法评价
在矩阵分解算法中，由于隐向量的存在，使任意的⽤户和物品之间都可以得到预测分值。⽽隐向量 的⽣成过程其实是对共现矩阵进⾏全局拟合的过程，因此隐向量其实 是利⽤全局信息⽣成的，有更强的泛化能⼒；⽽对协同过滤来说，如 果两个⽤户没有相同的历史⾏为，两个物品没有相同的⼈购买，那么 这两个⽤户和两个物品的相似度都将为 0（因为协同过滤只能利⽤⽤户 和物品⾃⼰的信息进⾏相似度计算，这就使协同过滤不具备泛化利⽤ 全局信息的能⼒）。
3.1、矩阵分解算法优点
- **泛化能⼒强。**在⼀定程度上解决了数据稀疏问题。
- **空间复杂度低。**不需再存储协同过滤模型服务阶段所需 的"庞⼤"的⽤户相似性或物品相似性矩阵，只需存储⽤户和物品隐向 量。空间复杂度由 n2级别降低到（n+m）·k级别。
- 更好的扩展性和灵活性。
3.2、矩阵分解算法缺点
与协同过滤⼀样，矩 阵分解同样不⽅便加⼊⽤户、物品和上下⽂相关的特征，这使得矩阵 分解丧失了利⽤很多有效信息的机会，同时在缺乏⽤户历史⾏为时， ⽆法进⾏有效的推荐。