LeetCode-741. 摘樱桃【数组 动态规划 矩阵】

LeetCode-741. 摘樱桃【数组 动态规划 矩阵】

题目描述:

给你一个 n x n 的网格 grid ,代表一块樱桃地,每个格子由以下三种数字的一种来表示:

0 表示这个格子是空的,所以你可以穿过它。

1 表示这个格子里装着一个樱桃,你可以摘到樱桃然后穿过它。

-1 表示这个格子里有荆棘,挡着你的路。

请你统计并返回:在遵守下列规则的情况下,能摘到的最多樱桃数:

从位置 (0, 0) 出发,最后到达 (n - 1, n - 1) ,只能向下或向右走,并且只能穿越有效的格子(即只可以穿过值为 0 或者 1 的格子);

当到达 (n - 1, n - 1) 后,你要继续走,直到返回到 (0, 0) ,只能向上或向左走,并且只能穿越有效的格子;

当你经过一个格子且这个格子包含一个樱桃时,你将摘到樱桃并且这个格子会变成空的(值变为 0 );

如果在 (0, 0) 和 (n - 1, n - 1) 之间不存在一条可经过的路径,则无法摘到任何一个樱桃。

示例 1:

输入:grid = [[0,1,-1],[1,0,-1],[1,1,1]]

输出:5

解释:玩家从 (0, 0) 出发:向下、向下、向右、向右移动至 (2, 2) 。

在这一次行程中捡到 4 个樱桃,矩阵变成 [[0,1,-1],[0,0,-1],[0,0,0]] 。

然后,玩家向左、向上、向上、向左返回起点,再捡到 1 个樱桃。

总共捡到 5 个樱桃,这是最大可能值。

示例 2:

输入:grid = [[1,1,-1],[1,-1,1],[-1,1,1]]

输出:0

提示:

n == grid.length

n == grid[i].length

1 <= n <= 50

grid[i][j] 为 -1、0 或 1

grid[0][0] != -1

grid[n - 1][n - 1] != -1

解题思路一:动态规划,定推初遍举。

  1. 定义 f [ k ] [ x 1 ] [ x 2 ] f[k][x_1][x_2] f[k][x1][x2]

    表示两个人(设为 A 和 B)从0出发,分别到达 ( x 1 , k − x 1 ) (x_1,k-x_1) (x1,k−x1)和 ( x 2 , k − x 2 ) (x_2,k-x_2) (x2,k−x2)摘到的樱桃个数之和的最大值。

  2. 推导公式,只能向下或向右走

    所以 f [ k ] [ x 1 ] [ x 2 ] f[k][x_1][x_2] f[k][x1][x2]可以由四种可能得情况得到:【x1, x2可以看作是行】

    1. 都往右:从 f [ k − 1 ] [ x 1 ] [ x 2 ] f[k-1][x_1][x_2] f[k−1][x1][x2]转移过来;
    2. A 往下,B 往右:从 f [ k − 1 ] [ x 1 − 1 ] [ x 2 ] f[k-1][x_1-1][x_2] f[k−1][x1−1][x2]转移过来;
    3. A 往右,B 往下:从 f [ k − 1 ] [ x 1 ] [ x 2 − 1 ] f[k-1][x_1][x_2-1] f[k−1][x1][x2−1]转移过来;
    4. 都往下:从 f [ k − 1 ] [ x 1 − 1 ] [ x 2 − 1 ] f[k-1][x_1-1][x_2-1] f[k−1][x1−1][x2−1]转移过来;
  3. 初始化

    因为 遇到荆棘,则令为负无穷大。
    f = [[[-inf] * n for _ in range(n)] for _ in range(n * 2 -1 )]
    f[0][0][0] = grid[0][0]

  4. 遍历方向

python 复制代码
for k in range(1, n * 2 - 1):
            for x1 in range(max(k - n + 1, 0), min(k + 1, n)):
                y1 = k - x1
                if grid[x1][y1] == -1:
                    continue
                for x2 in range(x1, min(k + 1, n)):
  1. 举例

python 复制代码
class Solution:
    def cherryPickup(self, grid: List[List[int]]) -> int:
        n = len(grid)
        f = [[[-inf] * n for _ in range(n)] for _ in range(n * 2 -1 )]
        f[0][0][0] = grid[0][0]
        for k in range(1, n * 2 - 1):
            for x1 in range(max(k - n + 1, 0), min(k + 1, n)):
                y1 = k - x1
                if grid[x1][y1] == -1:
                    continue
                for x2 in range(x1, min(k + 1, n)):
                    y2 = k - x2
                    if grid[x2][y2] == -1:
                        continue
                    res = f[k-1][x1][x2] # 都往右
                    if x1:
                        res = max(res, f[k-1][x1-1][x2]) # 往下,往右
                    if x2:
                        res = max(res, f[k-1][x1][x2-1]) # 往右,往下
                    if x1 and x2:
                        res = max(res, f[k-1][x1-1][x2-1]) # 都往下
                    res += grid[x1][y1]
                    if x2 != x1: # 避免重复摘同一个樱桃
                        res += grid[x2][y2]
                    f[k][x1][x2] = res
        print(f)
        return max(f[-1][-1][-1], 0)

时间复杂度:O(n^3^)

空间复杂度:O(n^2^)

解题思路二:倒序循环

python 复制代码
class Solution:
    def cherryPickup(self, grid: List[List[int]]) -> int:
        n = len(grid)
        f = [[-inf] * n for _ in range(n)]
        f[0][0] = grid[0][0]
        for k in range(1, n * 2 - 1):
            for x1 in range(min(k, n - 1), max(k - n, -1), -1):
                for x2 in range(min(k, n - 1), x1 - 1, -1):
                    y1, y2 = k - x1, k - x2
                    if grid[x1][y1] == -1 or grid[x2][y2] == -1:
                        f[x1][x2] = -inf
                        continue
                    res = f[x1][x2]  # 都往右
                    if x1:
                        res = max(res, f[x1 - 1][x2])  # 往下,往右
                    if x2:
                        res = max(res, f[x1][x2 - 1])  # 往右,往下
                    if x1 and x2:
                        res = max(res, f[x1 - 1][x2 - 1])  # 都往下
                    res += grid[x1][y1]
                    if x2 != x1:  # 避免重复摘同一个樱桃
                        res += grid[x2][y2]
                    f[x1][x2] = res
        return max(f[-1][-1], 0)

时间复杂度:O(n^3^)

空间复杂度:O(n^2^)

解题思路三:0

python 复制代码

时间复杂度:O(n)

空间复杂度:O(n)


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