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[P3386 【模板】二分图最大匹配](#P3386 【模板】二分图最大匹配)
[P1525 [NOIP2010 提高组] 关押罪犯](#P1525 [NOIP2010 提高组] 关押罪犯)
[P3385 【模板】负环](#P3385 【模板】负环)
[P3371 【模板】单源最短路径（弱化版）](#P3371 【模板】单源最短路径（弱化版）)
[P3385 【模板】负环](#P3385 【模板】负环)
[P5960 【模板】差分约束](#P5960 【模板】差分约束)
[P7771 【模板】欧拉路径](#P7771 【模板】欧拉路径)
前言：
若刚入门图论，想做基础图论题，请移步：CSDN
题单：
P3386 【模板】二分图最大匹配
https://www.luogu.com.cn/problem/P3386
交替路：
从未匹配点出发，依次经过非匹配边，匹配边，非匹配边......形成的路径
增广路：
从非匹配点出发，走交替路，最后到达另一非匹配点的路径
算法：
可以发现增广路的匹配边比交替路的匹配边多一----->可以尽可能找增广路（用DFS或者BFS实现），当找不到增广路时，就得到了最大匹配边
匈牙利算法：
男女相亲，男选女，可占可让（可以有女朋友，当遍历到的男生的心仪女生有男朋友时，如果该男朋友还有其他心仪女生没有对象，那么该男朋友会将女朋友让出来，并有新的女朋友）😦😦😦（真渣啊~(* ￣︿￣)（超小声嘀咕(*￣3￣)╭））
cpp
const int N = 505;
const int M = 5e4 + 5;
int cnt;
int head[N];
int match[N];//i的男友
int vis[N];
int n, m, e;
int ans;
struct EDGE
{
int v;
int next;
}EDGE[/*2 * */M];
void add(int u, int v)
{
cnt++;
EDGE[cnt].v = v;
EDGE[cnt].next = head[u];//不是等于cnt
head[u] = cnt;
}
bool dfs(int f)//boyfriend
{
for (int i = head[f]; i; i = EDGE[i].next)//遍历女友
{
int v = EDGE[i].v;
if (vis[v])
continue;
vis[v] = 1;
if (match[v] == 0 || dfs(match[v]/*传的是男友*/))
{
match[v] = f;
return 1;
}
}
return 0;
}
int main()
{
quickio;
cin >> n >> m >> e;
int u, v;
while (e--)
{
cin >> u >> v;
add(u, v);
//add(v, u);//不要建双边，只要遍历男友就可以了
}
for (int i = 1; i <= n; i++)//遍历男友
{
memset(vis, 0, sizeof(vis));
if (dfs(i))
ans++;
}
cout << ans << endl;
return 0;
}P1525 [NOIP2010 提高组] 关押罪犯
https://www.luogu.com.cn/problem/P1525
思路：
要用到贪心
按边从大到小排序，再按顺序往后安排各自的监狱，首先最大的怨气的两个人肯定要放在不同的监狱（就是不同的集合---->要涉及到并查集，放相同监狱的有相同的祖先）🧐🧐🧐
cpp
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include <deque>
#include <functional>
#include <climits>
#define quickio ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
#define endl "\n"
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 2e4 + 5;
const int M = 1e5 + 5;
int n, m;
int fa[N * 2];//> n的存的是敌人
struct zf
{
int a;
int b;
int c;
}zf[M];
bool cmp(struct zf a, struct zf b)
{
return a.c > b.c;
}
int find(int x)
{
if (fa[x] == x)
return x;
return fa[x] = find(fa[x]);
}
int FindMin()
{
for (int i = 0; i < m; i++)
{
int x = find(zf[i].a);
int y = find(zf[i].b);
if (x == y)
return zf[i].c;
fa[fa[zf[i].a]]/*注意是fa[fa[]],要把祖先直接归并到敌人集合，而不只是自己*/ = find(zf[i].b + n)/*不是fa[zf[i].b + n],因为要找的是最上面的祖先*/;
fa[fa[zf[i].b]] = find(zf[i].a + n);
}
return 0;
}
int main()
{
cin >> n >> m;
//并查集基本操作：初始化父亲
for (int i = 1; i <= 2 * n; i++)
fa[i] = i;
for (int i = 0; i < m; i++)
{
cin >> zf[i].a >> zf[i].b >> zf[i].c;
}
sort(zf, zf + m, cmp);
int ans = 0;
ans = FindMin();
cout << ans << endl;
return 0;
}P3385 【模板】负环
https://www.luogu.com.cn/problem/P3385
注意：
该题不可以用Dijkstra,只能用SPFA，但是通常求最短路最好用Dijkstra,因为SPFA经常被卡 ，例如你可以做这两个题目：😏 ......~(￣▽￣)~*
你会发现SPFA的代码可以过弱化版，但是过标准版会有一堆TLE(我会在后面公布这两题的答案ฅʕ•̫͡•ʔฅ)
P3371 【模板】单源最短路径（弱化版）
SPFA写法
cpp
//SPFA
//该代码是可以判断负环的SPFA，且采用vector存边
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include <deque>
#include <functional>
#include <climits>
#define quickio ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
#define endl "\n"
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 5e5 + 5;
struct edge
{
int v;
int w;
};
int vis[N];//标记是否在队内，所有pop后要置为0，和Dij不一样！！！！！！！！，Dij是标记该点访问过，不再访问
int ans[N];
int countt[N];//经过每个点的次数，如果有一个点的次数 >= n，则有负环
vector<edge>e[N];
int n, m, s;
bool SPFA(int s)
{
queue<int>que;
//memset(ans, 0x3f, sizeof(ans));该题初始化为这个不够，0x3f3f3f3f < INT_MAX，要初始化为INT_MAX
//注意题目要求啊！！！！！！！若不能到达则输出 2^31 - 1，
for (int i = 1; i <= n; i++)
ans[i] = INT_MAX;
ans[s] = 0;
que.push(s);
vis[s] = 1;
while (!que.empty())
{
int dian = que.front();
que.pop();
vis[dian] = 0;/*出队是0，注意！！！！！！！！！！，vis是表示是否在队内的*/
for (auto ed : e[dian])
{
int v = ed.v;
int w = ed.w;
if (ans[v] > ans[dian] + w)
{
ans[v] = ans[dian] + w;
countt[v] = countt[dian] + 1;
if (countt[v] >= n)
return true;//返回true表示有负环
if (vis[v] == 0)
{
vis[v] = 1;
que.push(v);
}
}
}
}
return false;
}
int main()
{
cin >> n >> m >> s;
int u, v, w;
for (int i = 0; i < m; i++)
{
cin >> u >> v >> w;
e[u].push_back({ v, w });
}
SPFA(s);
for (int i = 1; i <= n; i++)
cout << ans[i] << " ";
return 0;
}Dij写法：
问题：
弱化版的代码超时---->要用堆优化 (ง •_•)ง
核心：
priority_queue< pair<int,int> > 用优先队列来取最近的点，就不用遍历找点了
在priority_queue中，是按pair的第一个元素（first）由大到小排序的，所以pair<距离，点号>，注意因为要的是最小值，所以距离要存负值 (重点敲黑板哦~~ 😳😳😳)
总结：
要优先队列来方便选出最短路径，注意堆优化（优先队列）中的排序是从大到小，所以存距离要存负数
要一个结构体存每个点的数据，head数组存每条链的数据，还要用ans数组记录从起点到某点的最短距离，用vis数组记录点是否被加入过最短路径，避免重复加入
cpp
#include <queue>
/*堆优化：利用优先队列，降低复杂度，直接排序，注意优先队列是由大到小排列的,因此距离是负数 */
#include <climits>
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAX = 1e6;
int n, m, s;
int ans[MAX];//最短距离
int cnt;
int head[MAX];//出边的头标记
int visit[MAX];//标记该点是否被访问过
struct EDGE
{
int to;
int next;//下一个出边
int wei;//权值
}edge[MAX];
void add(int u, int v, int w)
{
cnt++;
edge[cnt].wei = w;
edge[cnt].to = v;
edge[cnt].next = head[u];
head[u] = cnt;
}
int main()
{
int i;
int u, v, w;
cin >> n >> m >> s;
for (i = 1; i <= n; i++)
ans[i] = INT_MAX;
ans[s] = 0;
for (i = 1; i <= m; i++)
{
cin >> u >> v >> w;
add(u, v, w);
}
priority_queue<pair<int, int> >que;//距离，点
que.push({0, s});
while (!que.empty())
{
int qh = que.top().first;
int h = que.top().second;
que.pop();/*记得pop()!!!!!!!!!*/
if (visit[h] == 0)
{
visit[h] = 1;
for (i = head[h]; i != 0; i = edge[i].next)//不断找下一个儿子，直到找完
{
if (ans[edge[i].to] > ans[h] + edge[i].wei)
{
ans[edge[i].to] = ans[h] + edge[i].wei;
if (visit[edge[i].to] == 0)
que.push({ -ans[edge[i].to], edge[i].to });
}
}
}
}
for (i = 1; i <= n; i++)
cout << ans[i] << ' ';
cout << endl;
return 0;
}P3385 【模板】负环
P3385 【模板】负环 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
cpp
//负环
//该代码是可以判断负环的SPFA，且采用vector存边
const int N = 5e5 + 5;
struct edge
{
int v;
int w;
};
int vis[N];//标记是否在队内，所有pop后要置为0，和Dij不一样！！！！！！！！，Dij是标记该点访问过，不再访问
int ans[N];
int countt[N];//经过每个点的次数，如果有一个点的次数 >= n，则有负环
vector<edge>e[N];
int n, m, s;
bool SPFA(int s)
{
queue<int>que;
for (int i = 1; i <= n; i++)
ans[i] = INT_MAX;
memset(vis, 0, sizeof(vis));
memset(countt, 0, sizeof(countt));
ans[s] = 0;
que.push(s);
vis[s] = 1;
while (!que.empty())
{
int dian = que.front();
que.pop();
vis[dian] = 0;/*出队是0，注意！！！！！！！！！！，vis是表示是否在队内的*/
for (auto ed : e[dian])
{
int v = ed.v;
int w = ed.w;
if (ans[v] > ans[dian] + w)
{
ans[v] = ans[dian] + w;
countt[v] = countt[dian] + 1;
if (countt[v] >= n)
return true;//返回true表示有负环
if (vis[v] == 0)
{
vis[v] = 1;
que.push(v);
}
}
}
}
return false;
}
int main()
{
int t;
cin >> t;
while (t--)
{
memset(e, 0, sizeof(e));
cin >> n >> m;
int u, v, w;
for (int i = 0; i < m; i++)
{
cin >> u >> v >> w;
if (w >= 0)
{
e[u].push_back({ v, w });
e[v].push_back({ u, w });
}
else
e[u].push_back({ v, w });
}
if (SPFA(1))
{
cout << "YES" << endl;
}
else
cout << "NO" << endl;
}
return 0;
}P5960 【模板】差分约束
一个差分约束系统是这样的：
给出 n 个变量和 m 个约束条件，形如 Xi - Xj≤Ck ，你需要求出一组解，使得所有约束条件均被满足。🤯🤯🤯
怎样解这个差分约束系统呢？我们将上面的不等式变形一下：
Xi≤Xj+Ck 🤔(+_+)?
容易发现这个形式和最短路中的三角形不等式**++Dis(v)≤Dis(u)+w++** 非常相似。😮😮😮
因此我们就将这个问题转化为一个求最短路的问题：比如对于上面这个不等式，
1、我们从 j 向 i 连一条权值为 Ck 的边。
2、我们再++新建一个 0 号点，从 0 号点向其他所有点连一条权值为 0的边。++
这个操作相当于新增了一个变量 X0 和 n 个约束条件xi≤x0，从而将所有变量都和X0 这一个变量联系起来。
3、然后以 0号点为起点，用 SPFA 跑最短路。
如果有负权环，差分约束系统无解。否则设从 0号点到 i号点的最短路为 Dis(i)，则xi=Dis(i) 即为差分约束系统的一组可行解。
cpp
const int N = 5e5 + 5;
struct edge
{
int v;
int w;
};
int vis[N];//标记是否在队内，所有pop后要置为0，和Dij不一样！！！！！！！！，Dij是标记该点访问过，不再访问
int ans[N];
int countt[N];//经过每个点的次数，如果有一个点的次数 >= n，则有负环
vector<edge>e[N];
int n, m, s;
bool SPFA(int s)
{
queue<int>que;
for (int i = 1; i <= n; i++)
ans[i] = INT_MAX;
memset(vis, 0, sizeof(vis));
memset(countt, 0, sizeof(countt));
ans[s] = 0;
que.push(s);
vis[s] = 1;
while (!que.empty())
{
int dian = que.front();
que.pop();
vis[dian] = 0;/*出队是0，注意！！！！！！！！！！，vis是表示是否在队内的*/
for (auto ed : e[dian])
{
int v = ed.v;
int w = ed.w;
if (ans[v] > ans[dian] + w)
{
ans[v] = ans[dian] + w;
countt[v] = countt[dian] + 1;
if (countt[v] >= n + 1/*注意这里是n + 1了，因为多加了一个0号节点*/)
return true;//返回true表示有负环
if (vis[v] == 0)
{
vis[v] = 1;
que.push(v);
}
}
}
}
return false;
}
int main()
{
memset(e, 0, sizeof(e));
cin >> n >> m;
int u, v, w;
for (int i = 0; i < m; i++)
{
cin >> u >> v >> w;
//e[u].push_back({ v, w });
e[v].push_back({ u, w });//注意这里的起点和终点！！！！！！！
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
e[0].push_back({ i, 0 });
//注意：要让一点可以到达所有点才行，但是图内不一定存在这种点，所以可以自己创建一个0节点，并和所有点都连起来，同时边权为0
if (SPFA(0) == false)//从0号节点出发，求它到所有点的最短路径，如果有负环，该差分约束无解
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
cout << ans[i] << " ";
cout << endl;
}
else
cout << "NO" << endl;
return 0;
}P7771 【模板】欧拉路径
https://www.luogu.com.cn/problem/P7771
欧拉路径：
只经过一次的边😮
欧拉回路：
经过欧拉路径能回到起点的回路 🤨🤨🤨
欧拉图：
有欧拉 回路的图😶
半欧拉图：
有欧拉++路径++ 的图，但是**没有欧拉 ++回路++😵😵😵
判断是否有欧拉路径：
1、有向图欧拉路径：
只有两个点出度不等于入度：起点（出度 = 入度 + 1），终点（入度 = 出度 + 1）
其他点：入度 = 出度 (～﹃～)~zZ
欧拉回路：
所有点入度等于出度 O_O
2、无向图
欧拉路径：
只有两个点的度数为奇数：起点（出度 = 入度 + 1），终点（入度 = 出度 + 1）
其他点：度数为偶数 (っ´Ι`)っ：偶数
欧拉回路：
所有点度数为偶数 ( ´･･)ﾉ(._.`)
cpp
const int N = 1e5 + 5;
const int M = 2e5 + 5;
//用Dij不好排序，用vector的图
//struct EDGE
//{
// int v;
// int w;
// int next;
//}EDGE[M];
//
//int head[N];
//int ans[N];
//int vis[N];
//int cnt;
//
//int du[N][2];//入度，出度
//
//void add(int u, int v, int w)
//{
// cnt++;
// EDGE[cnt].v = v;
// EDGE[cnt].w = w;
// EDGE[cnt].next = head[u];
// head[u] = cnt;
//}
vector<int>G[N];
stack<int>st;
int du[N][2];//入度，出度
int cnt[2];//记录多少点出度不等于入度，cnt[0]:入度 > 出度,cnt[1]:出度 > 入度
int beginn[N];//记录每个点遍历到了哪个出边
void DFS(int qi)
{
for (int i = beginn[qi]; i < G[qi].size(); i = beginn[qi]/*注意不是i++,因为经过DFS后，beginn[qi]的值可能早已改变，不能再从目前点的后一个点继续走*/)
{
beginn[qi] = i + 1;
DFS(G[qi][i]);
}
st.push(qi);
//最后放：因为栈是先进后出，要先把该点的出边都遍历完再放入该点，以便输出时该点先输出
}
int main()
{
int n, m;
cin >> n >> m;
int u, v;
for (int i = 0; i < m; i++)
{
cin >> u >> v;
G[u].push_back(v);
du[u][1]++;
du[v][0]++;
}
int qi = 1;//起点
//int flag = 0;//flag = 0表示：所有点入度 = 出度
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
sort(G[i].begin(), G[i].end());//注意vector和数组对sort的用法不同
if (du[i][0] != du[i][1])
{
//flag = 1;
if (du[i][0] - du[i][1] == 1)//入度 - 出度 = 1：终点
{
cnt[1]++;
}
else if (du[i][1] - du[i][0] == 1)//出度 - 入度 = 1：起点
{
cnt[0]++;
qi = i;
}
else
{
cout << "No" << endl;
return 0;
}
}
}
if (cnt[0] != cnt[1]/*起点数不等于终点数*/)
{
cout << "No" << endl;
return 0;
}
if (cnt[0] != 0/*不是欧拉路径*/ && cnt[0] != 1/*不止一个起点*/)
{
cout << "No" << endl;
return 0;
}
DFS(qi);
while (!st.empty())
{
cout << st.top() << " ";
st.pop();
}
return 0;
}文末:
单源最短路径（弱化版）
该题可用Dij，也可用SPFA，该题SPFA可以：
单源最短路径（标准版）
该题只能Dij,若为SPFA：
综上所述：最好用Dij算法求单源最短路径，但++若有负边权++：++只能用SPFA++