浅说二分答案

前言

前面我们讲的主要都是二分查找，二分查找在考试中一般都不会作为独立算法而存在，一般都是一道题中部分算法，它主要是基于单调性的减少枚举次数。而枚举除了枚举操作还可以枚举答案，枚举答案同样可以用二分来减少枚举次数，这就是比赛中常考的二分答案。很多时候当答案不是很容易直接计算的时候，我们可以考虑枚举答案，但是答案范围特别大，但是又具有单调性的时候，直接一个一个枚举答案效率很低，我们可以考虑二分枚举，如果答案有10亿种，那么二分枚举只需要30次左右就可以枚举完，大大提高了枚举效率。

内容分析------整数二分

情况一：最小值最大

我们还是拿一个例题来分析

陶陶是个贪玩的孩子，他在地上丢了A个瓶盖，为了简化问题，我们可以当作这A个瓶盖丢在一条直线上，现在他想从这些瓶盖里找出B个，使得距离最近的2个距离最大，他想知道，最大可以到多少呢？

输入格式：

第一行，两个整数，A,B。（B<=A<=100000）

第二行，A个整数，分别为这A个瓶盖坐标。<=10^9^

因为每个瓶盖的坐标未定，所以找不到任何算法可以直接得到最小距离的最大值，所以我们只能一个答案一个答案的去试，已知A[i]<=1e9,所以一次枚举答案肯定会超时，已知坐标是整数，并且坐标有一个区间，区间是具有单调性的，所以我们可以用二分查找

第一步：

题目中没说每个瓶盖的坐标是已经排好序的，所以先排序

cpp 复制代码

sort(a+1,a+1+n,cmp);

第二步：

确定二分答案的左右端点，即最小可能距离,最大可能距离

cpp 复制代码

int l=1,r=a[n]-a[1];

第三步：

查找中间值，然后带入题目中判断是否满足条件。假设最小值就是当前这个值，说明选取的瓶盖的距离一定是>=最小值，那么我们就从起点开始往后面找，只要距离>=最小值，就选取，然后统计最后一共可以选k个。

注意第一个点可以理解为肯定是必选的

既然是假设，那么就可能有不满足条件的时候：

如果 k < m k<m k<m:说明满足条件的瓶盖少了，即最小值大了。所以 r i g h t = m i d − 1 ; right=mid-1; right=mid−1;

如果 k = m k=m k=m:说明刚好满足条件，最小值是正确的。

如果 k > m k>m k>m:说明满足条件的瓶盖多了，即最大值小了。所以 l e f t = m i d + 1 ; left=mid+1; left=mid+1;

实际上前面的想法是错误的，因为我们要求的是要让他的最小值最大。求最大的最小值，而不是直接求一个满足条件的最小值。
i f ( k < m ) if(k<m) if(k<m):说明最小值大了，最多也没有办法选择m个。
i f ( k = = m ) if(k==m) if(k==m):说明最小值是合理的，但是不一定是最大的，可能还存在稍微大点的值合适合理的。比如

1 4 9（3选3）

第一次mid=4，不满足条件，第二次mid=2，满足条

件，但是实际值应该是3
i f ( k > m ) if(k>m) if(k>m):说明最多可以选择的瓶盖比m多，但是并不代表不可以选m个，所以这种情况也是合理的，但是也不一定是最小值。比如

1 2 3 4(4选3)

最小值只能是1，但是是1时可以选4个。

此类二分答案的模板

cpp 复制代码

while(left<=right){
//求最小值的最大值。 
	int mid=(left+right)/2;
	if(check(mid)){ //满足条件 
		ans=mid; //记录当前答案
		left=mid+1; //查找有没有更大的值
		//如果有更大的值，就会自动更新ans
	}
	else{
		right=mid-1; //不合理，肯定不满足条件
	}
} 
printf("%d",ans);

会了吗？不会的打回去重来

情况二：最大值最小

老样子，还是用例题来分析

对于给定的一个长度为N的正整数数列A[i]，现要将其分成M（M≤N）段，并要求每段连续，且每段和的最大值最小。

关于最大值最小：

例如一数列4 2 4 5 1要分成3段

将其如下分段：

[4 2][4 5][1]

第一段和为6，第2段和为9，第3段和为1，和最大值为9。

将其如下分段：

[4][2 4][5 1]

第一段和为4，第2段和为6，第3段和为6，和最大值为6。

并且无论如何分段，最大值不会小于6。

所以可以得到要将数列4 2 4 5 1要分成3段，每段和的最大值最小为6。

题目中有最大值最小，很容易想到是一道二分答案的题。

第一步：确定二分答案的左右端点

左端点：序列中的最大值(再小就不能分了)

右端点：序列之和(分成一段)

第二步：二分框架(该题为最大值最小)

此种类型的二分框架

cpp 复制代码

while(l<=r){
	int mid=(l+r)/2;
	if(check(mid)){
		ans=mid; r=mid-1;
	}
	else l=mid+1;
}

注：如果当前答案满足条件，那么当前答案可能就是正确答案，但是也可能正确答案比当前答案小，所以先记录当前答案，如果有更小的再替换

内容分析------实数二分

有N条绳子，它们的长度分别为Li。如果从它们中切割出K条长度相同的绳子，这K条绳子每条最长能有多长？答案保留到小数点后2位(不四舍五入)。

前面我们使用的二分答案的模板是针对整数而言的，如果当前值不合理，那么就从当前值的下一个（上一个）整数开始继续寻找，但是该题就不可以这样做了，因为他可能是小数，所以我们就不可以Left=mid+1,right=mid-1了，这样很容易丢失正解，因为正解可能就在相邻两个整数之间。

cpp 复制代码

while(right-left>0.0001){
	double mid=(left+right)/2;
	if(check(mid)){
		ans=mid;
		left=mid;
	}else right=mid;
}

因为保留两位小数，所以要让left和right的值精确到两位小数数值肯定是一样的，所以这里精度要高一点。

但是在实际做题中，我们会发现一个问题，就是经过多次计算后，由浮点数只是一个近似值，会有一定误差，在一定限度内，误差可以忽略不计，但是多次计算之后，误差会导致结果错误。比如1.0000在多次计算之后会变成0.99999,这样最后的结果就是错误的。比如洛谷上面切绳子这题，如果最后输出的答案是ans的值或者left的值，答案会错一部分，但是使用right的值就是正确的，但是理论上这两者的值精确到1e-4是正确的，实际上就算精确到1e-6都还是会错。所以当我们需要精确到较高的时候最好不使用浮点数。最好想办法转换成整数再计算。

所以切绳子这道题最好的做法就是把所有绳子长度扩大10000倍（保证保留两位小数时，近似值一样），然后按照前面对整数二分答案的做法来做。但是最后要求是保留两位小数，但是不四舍五入，所以当得到ans的值的时候，还要想办法变回原来的值，并且保留两位小数。

比如：ans=12358

正确结果应该是1.23，如果直接/10000，再保留整数结果是1.24.