C++的数据结构(十五）：二分图

在图论中，二分图（Bipartite Graph）是一种特殊的图，它的顶点集合可以被分割为两个互不重叠的子集，并且图中的每条边所连接的两个顶点都分别属于这两个不同的子集。这样的图具有很多有趣的性质，并广泛应用于各种算法中。

二分图的一个显著特点是，图中的顶点可以分成两个互不重叠的集合A和B，且图中的每条边的两个端点分别属于集合A和集合B。这意味着在二分图中，任意两个属于同一集合的顶点之间都不存在边。在实际问题中，二分图常用于表示两种不同对象之间的关系，如员工和部门、学生和课程等。通过将对象划分为两个集合，并使用边来表示它们之间的关系，可以方便地构建二分图模型。

判断一个图是否为二分图的方法有多种，其中比较常用的是染色法（Coloring Algorithm）。该算法的基本思想是，对图中的顶点进行染色，如果可以用两种颜色为图中的顶点染色，并且使得相邻顶点颜色不同，则该图是一个二分图。

以下是使用实现二分图判定的示例代码。

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>

using namespace std;

const int MAXN = 1005; // 最大顶点数
const int INF = 0x3f3f3f3f; // 无穷大值

vector<int> adj[MAXN]; // 邻接表表示图
int color[MAXN]; // 记录顶点颜色，-1表示未染色，0和1表示两种颜色

bool dfs(int v, int c, int n) {
    color[v] = c; // 染色
    for (int i = 0; i < adj[v].size(); ++i) {
        int u = adj[v][i];
        if (color[u] == c) { // 如果相邻顶点颜色相同，则不是二分图
            return false;
        }
        if (color[u] == -1 && !dfs(u, 1 - c, n)) { // 如果相邻顶点未染色，则继续染色
            return false;
        }
    }
    return true;
}

bool isBipartite(int n) {
    memset(color, -1, sizeof(color)); // 初始化颜色为未染色
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (color[i] == -1 && !dfs(i, 0, n)) { // 如果顶点未染色，则从该顶点开始进行染色并判断是否为二分图
            return false;
        }
    }
    return true;
}

int main() {
    int n, m; // n为顶点数，m为边数
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        adj[u].push_back(v);
        adj[v].push_back(u); // 无向图，需添加双向边
    }
    if (isBipartite(n)) {
        cout << "这图是二分图." << endl;
    } else {
        cout << "这图不是二分图." << endl;
    }
    return 0;
}

在上述代码中，我们首先定义了一个邻接表`adj`来表示图的结构，并使用一个数组`color`来记录每个顶点的颜色。`dfs`函数用于对图中的顶点进行染色，并判断是否为二分图。`isBipartite`函数则遍历所有顶点，对未染色的顶点调用`dfs`函数进行染色和判断。如果最终所有顶点都能成功染色且相邻顶点颜色不同，则图是二分图。

在推荐系统中，我们可以将用户和物品分别作为二分图的两个顶点集合。如果用户对某个物品产生了兴趣（例如点击、购买等），则在对应的用户和物品之间添加一条边。这样，我们就可以将推荐问题转化为在二分图中寻找与给定用户相关联的物品的问题。下面是一个使用C++实现的基于二分图的推荐系统示例。

cpp 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <unordered_set>

using namespace std;

// 二分图邻接表表示
vector<vector<int>> graph;

// BFS函数，用于寻找与给定用户相关联的物品
vector<int> bfs(int user) {
    vector<bool> visited(graph.size(), false); // 记录顶点是否访问过
    vector<int> result; // 存储与给定用户相关联的物品
    queue<int> q;
    
    q.push(user); // 将给定用户入队
    visited[user] = true;
    
    while (!q.empty()) {
        int curr = q.front();
        q.pop();
        
        // 遍历当前顶点的邻居
        for (int neighbor : graph[curr]) {
            if (!visited[neighbor]) { // 如果邻居节点未访问过
                visited[neighbor] = true;
                result.push_back(neighbor); // 将邻居节点（物品）加入结果集
                q.push(neighbor); // 将邻居节点入队
            }
        }
    }
    
    return result;
}

int main() {
    // 示例：构建二分图
    int numUsers = 4; // 用户数量
    int numItems = 5; // 物品数量
    graph.resize(numUsers + numItems); // 邻接表大小为用户和物品的总数

    // 假设用户1对物品1和物品3感兴趣，用户2对物品2和物品4感兴趣，用户3对物品2和物品5感兴趣
    graph[0].push_back(numUsers); // 用户1 -> 物品1
    graph[0].push_back(numUsers + 2); // 用户1 -> 物品3
    graph[1].push_back(numUsers + 1); // 用户2 -> 物品2
    graph[1].push_back(numUsers + 3); // 用户2 -> 物品4
    graph[2].push_back(numUsers + 1); // 用户3 -> 物品2
    graph[2].push_back(numUsers + 4); // 用户3 -> 物品5

    // 查询用户1的推荐物品
    vector<int> recommendations = bfs(0);
    
    // 输出结果
    cout << "用户1建议: ";
    for (int item : recommendations) {
        cout << item - numUsers << " "; // 输出物品编号，需要减去用户数量得到实际的物品索引
    }
    cout << endl;

    return 0;
}

在这个示例中，我们构建了一个包含4个用户和5个物品的二分图，并通过BFS算法找到与给定用户相关联的物品。BFS算法通过逐层遍历图中的顶点，将与给定用户直接或间接相关联的物品收集起来，最终返回给用户作为推荐。

请注意，上述示例仅演示了二分图在推荐系统中的基本应用。在实际应用中，推荐系统通常需要考虑更多的因素，如用户的历史行为、物品的属性和评分、时间因素等，以便提供更精确和个性化的推荐。此外，也可以使用更复杂的图算法和机器学习方法来优化推荐效果。

二分图是一种特殊的图论结构，通过染色法可以判定一个图是否为二分图。二分图在实际问题中有广泛的应用，包括二分匹配、二分图着色、社交网络分析和推荐系统等。通过构建和分析二分图模型，可以有效地解决许多实际问题。希望本文的讲解和示例代码能够帮助读者更好地理解和掌握二分图的原理、判定及应用。