一、柔性作业车间调度问题
柔性作业车间调度问题（Flexible Job Shop Scheduling Problem，FJSP），是一种经典的组合优化问题。在FJSP问题中，有多个作业需要在多个机器上进行加工，每个作业由一系列工序组成，每个工序需要在特定的机器上完成。同时，每个机器一次只能处理一个工序，且每个工序的处理时间可能不同。FJSP问题的目标是找到一个最优的作业调度方案，使得所有作业的完成时间最小化。这个问题的难点在于需要考虑到多个作业、多个机器和多个工序之间的复杂关系，并且需要在有限的时间内找到最优解。
柔性作业车间调度问题( FJSP) 的描述如下：n个工件 { J , J 2 , . . , J n } \{J,J_2,..,J_n\} {J,J2,..,Jn}要在 m m m 台机器 { M 1 , M 2 , . . , M m } \{M_1,M_2,..,M_m\} {M1,M2,..,Mm} 上加工。每个工件包含一道或多道工序，工序顺序是预先确定的，每道工序可以在多台不同加工机器上进行加工，工序的加工时间随加工机器的不同而不同。调度目标是为每道工序选择最合适的机器、确定每台机器上各个工序的最佳加工顺序以及开工时间，使整个系统的某些性能指标达到最优。因此，柔性作业车间调度问题包含两个子问题：确定各工件的加工机器 (机器选择子问题) 和确定各个机器上的加工先后顺序 (工序排序子问题)。
此外，在加工过程中还需要满足下面的约束条件：
(1) 同一台机器同一时刻只能加工一个工件；
(2) 同一工件的同一道工序在同一时刻只能被一台机器加工；
(3) 每个工件的每道工序一旦开始加工不能中断；
(4) 不同工件之间具有相同的优先级；
(5)不同工件的工序之间没有先后约束，同一工件的工序之间有先后约束；
(6)所有工件在零时刻都可以被加工。
1.1符号描述
n : n: n:工件总数；
m : m: m: 机器总数；
i , e : i,e: i,e: 机器序号， i , e = 1 , 2 , 3 , . . . , m i,e=1,2,3,...,m i,e=1,2,3,...,m ;
j , k : j,k: j,k: 工件序号， j , k = 1 , 2 , 3 , . . . , n ; j,k=1,2,3,...,n; j,k=1,2,3,...,n; h j : h_j: hj:工件 j j j 的工序总数；
h , l : h,l: h,l: 工序序号， h = 1 , 2 , 3 , . . . , h j h=1,2,3,...,h_j h=1,2,3,...,hj ;
Ω j h : \Omega_{jh}: Ωjh:工件 j j j 的第 h h h 道工序的可选加工机器集；
m j h : m_{jh}: mjh:工件 j j j 的第 h h h 道工序的可选加工机器数；
O j h : O_{jh}: Ojh:工件 j j j 的第 h h h道工序；
M i j h : M_{ijh}: Mijh:工件 j j j 的第 h h h道工序在机器 i i i 上加工；
p i j h : p_{ijh}: pijh:工件 j j j的第 h h h道工序在机器 i i i上的加工时间；
s j h : s_{jh}: sjh:工件 j j j 的第 h h h 道工序加工开始时间；
c j h : c_{jh}: cjh:工件 j j j的第 h h h道工序加工完成时间；
d j : d_j: dj:工件 j j j 的交货期；
L L L: 一个足够大的正数；
C j C_j Cj: 每个工件的完成时间；
C max : C_{\max}: Cmax: 最大完工时间；
T o : T o = ∑ j = 1 n h j T_o:\quad T_o=\sum_{j=1}^nh_j To:To=∑j=1nhj, 所有工件工序总数；
x i j h = { 1 , 如果工序 O j h 选择机器 i ; 0 , 否则； x_{ijh}=\begin{cases}1,\text{如果工序}O_{jh}\text{选择机器}i;\\0,\text{否则；}\end{cases} xijh={1,如果工序Ojh选择机器i;0,否则；
y i j h k l = { 1 , 如果 O i j h 先于 O i k l 加工 ; 0 , 否则 ; y_{ijhkl}=\begin{cases}1,\text{如果}O_{ijh}\text{先于}O_{ikl}\text{加工};\\0,\text{否则};\end{cases} yijhkl={1,如果Oijh先于Oikl加工;0,否则;
1.2约束条件
C 1 : s j h + x i j h × p i j h ≤ c j h C_{1}:s_{jh}+x_{ijh}\times p_{ijh}\leq c_{jh} C1:sjh+xijh×pijh≤cjh
其中： i = 1 , ... , m ; j = 1 , ... , n ; i=1,\ldots,m;j=1,\ldots,n; i=1,...,m;j=1,...,n; h = 1 , ... , h j h=1,\ldots,h_j h=1,...,hj
C 2 : c j h ≤ s j ( h + 1 ) C_{2}:c_{jh}\leq s_{j(h+1)} C2:cjh≤sj(h+1)
其中 : j = 1 , ... , n ; h = 1 , . . . , h j − 1 :j=1,\ldots,n;h=1,...,h_j-1 :j=1,...,n;h=1,...,hj−1
C 3 : c j h j ≤ C max C_{3}:c_{jh_j}\leq C_{\max} C3:cjhj≤Cmax
其中： j = 1 , . . . , n j=1,...,n j=1,...,n
C 4 : s j h + p i j h ≤ s k l + L ( 1 − y i j h k l ) C_{4}:s_{jh}+p_{ijh}\leq s_{kl}+L(1-y_{ijhkl}) C4:sjh+pijh≤skl+L(1−yijhkl)
其中 : j = 0 , ... , n ; k = 1 , ... , n ; h = 1 , ... , h j ; l = 1 , ... , h k ; i = 1 , ... , m :j=0,\ldots,n;k=1,\ldots,n;h=1,\ldots,h_j;l=1,\ldots,h_k;i=1,\ldots,m :j=0,...,n;k=1,...,n;h=1,...,hj;l=1,...,hk;i=1,...,m
C 5 : c j h ≤ s j ( h + 1 ) + L ( 1 − y i k l j ( h + 1 ) ) C_{5}:c_{jh}\leq s_{j(h+1)}+L(1-y_{iklj(h+1)}) C5:cjh≤sj(h+1)+L(1−yiklj(h+1))
其中 : j = 1 , ... , n ; k = 0 , ... , n ; h = 1 , ... , h j − 1 ; l = 1 , ... , h k ; i = 1 , ... , m :j=1,\ldots,n;k=0,\ldots,n;h=1,\ldots,h_j-1;\quad l=1,\ldots,h_k;\quad i=1,\ldots,m :j=1,...,n;k=0,...,n;h=1,...,hj−1;l=1,...,hk;i=1,...,m
h 1 : ∑ i = 1 m j h x i j h = 1 h_{1}:\sum_{i=1}^{m_{jh}}x_{ijh}=1 h1:∑i=1mjhxijh=1
其中： h = 1 , . . . , h j ; j = 1 , . . . , n ; h=1,...,h_j;j=1,...,n; h=1,...,hj;j=1,...,n;
h 2 : ∑ j = 1 n ∑ h = 1 h j y i j h k l = x i k l h_{2}:\sum_{j=1}^n\sum_{h=1}^{h_j}y_{ijhkl}=x_{ikl} h2:∑j=1n∑h=1hjyijhkl=xikl
其中： i = 1 , ... , m ; k = 1 , ... , n ; l = 1 , ... , h k i=1,\ldots,m;k=1,\ldots,n;l=1,\ldots,h_k i=1,...,m;k=1,...,n;l=1,...,hk
h 3 : ∑ i = 1 n ∑ i = 1 n k y i j h k l = x i j h h_{3}:\sum_{i=1}^n\sum_{i=1}^{n_k}y_{ijhkl}=x_{ijh} h3:∑i=1n∑i=1nkyijhkl=xijh
其中： i = 1 , ... , m ; j = 1 , ... , n ; h = 1 , ... , h k i=1,\ldots,m;j=1,\ldots,n;\quad h=1,\ldots,h_k i=1,...,m;j=1,...,n;h=1,...,hk
C 6 : s j h ≥ 0 , c j h ≥ 0 C_{6}:s_{jh}\geq0,c_{jh}\geq0 C6:sjh≥0,cjh≥0
其中 : j = 0 , 1 , . . . , n ; h = 1 , . . . , h j :j=0,1,...,n;h=1,...,h_j :j=0,1,...,n;h=1,...,hj
C 1 C_{1} C1和 C 2 C_{2} C2表示每一个工件的工序先后顺序约束 ;
C 3 C_{3} C3表示工件的完工时间的约束,即每一个工件的完工时间不可能超过总的完工时间 ;
C 4 C_{4} C4和 C 5 C_{5} C5表示同一时刻同一台机器只能加工一道工序 ;
h 1 h_{1} h1表示机器约束,即同一时刻同一道工序只能且仅能被一台机器加工;
h 2 h_{2} h2和 h 3 h_{3} h3表示存在每一台机器上可以存在循环操作 ;
C 6 C_{6} C6表示各个参数变量必须是正数。
1.3目标函数
FJSP的目标函数是最大完工时间最小。完工时间是每个工件最后一道工序完成的时间，其中最大的那个时间就是最大完工时间(makespan)。它是衡量调度方案的最根本指标， 主要体现车间的生产效率，如下式所示：
f = min ( max l ≤ j ≤ n ( C j ) ) f=\min(\max_{\mathrm{l\leq}j\leq n}(C_j)) f=min(maxl≤j≤n(Cj))
参考文献：
[1]张国辉.柔性作业车间调度方法研究[D].华中科技大学,2009.
二、算法简介
粒子群优化算法是一种基于群体智能的优化算法，它模拟了鸟群捕食时的行为，利用群体中的个体通过信息共享和合作来寻找最优解。该算法具有全局搜索能力、高效性和易于实现等优点。
算法流程如下：
初始化：随机生成一定数量的粒子，并给每个粒子随机赋予一个初始速度和位置。
适应度计算：对于每个粒子，计算其适应度值。
更新个体最优解：将每个粒子当前的位置与其历史最优位置进行比较，更新个体最优解。
更新群体最优解：将所有粒子的历史最优位置进行比较，更新群体最优解。
更新速度和位置：通过当前位置、历史最优位置以及群体最优位置来更新粒子的速度和位置。
终止条件检测：当满足预设的终止条件时，算法停止，否则回到第2步。
三、算法求解FJSP
3.1部分代码
bash
dim=2*sum(operaNumVec);
LB = -jobNum * ones(1, dim);
UB = jobNum * ones(1, dim);
Max_iteration = 100;
SearchAgents_no = 100;
fobj=@(x)fitness(x, MachineNum,jobNum,jobInfo,operaNumVec,candidateMachine);
%% 优化算法求解FJSP
[fMin , bestX, Convergence_curve ] = pso(SearchAgents_no,Max_iteration,LB,UB,dim,fobj);
machineTable=GetMachineTable(bestX, MachineNum,jobNum,jobInfo,operaNumVec,candidateMachine);
%% 画收敛曲线图
figure
plot(Convergence_curve,'r-','linewidth',2)
xlabel('迭代次数')
ylabel('最大完工时间')
legend('pso')
saveas(gca,'1.jpg');3.2部分结果
四、完整MATLAB代码
下方名片