【线性代数】第三章-矩阵的初等变换与线性方程组:以及秩、行阶梯的概念

文章目录

  • [一. 矩阵的初等变换](#一. 矩阵的初等变换)
    • [1. 矩阵的三种初等变换](#1. 矩阵的三种初等变换)
    • [2. 矩阵等价](#2. 矩阵等价)
    • [3. 初等矩阵](#3. 初等矩阵)
  • [二. 行阶梯矩阵](#二. 行阶梯矩阵)
    • [1. 行阶梯矩阵定义](#1. 行阶梯矩阵定义)
    • [2. 定理](#2. 定理)
  • [二. 矩阵的秩](#二. 矩阵的秩)
    • [1. k阶子式的概念](#1. k阶子式的概念)
    • [2. 秩的定义](#2. 秩的定义)
    • [3. 秩的性质](#3. 秩的性质)
  • [三. 线性方程组的解](#三. 线性方程组的解)
    • [1. 线性方程组的向量形式](#1. 线性方程组的向量形式)
    • [2. 线性方程组解的讨论](#2. 线性方程组解的讨论)
    • [3. 定理](#3. 定理)

一. 矩阵的初等变换

1. 矩阵的三种初等变换

2. 矩阵等价

矩阵等价性质

3. 初等矩阵

二. 行阶梯矩阵

1. 行阶梯矩阵定义

标准型

2. 定理

衍生的一般规律,行变换(左乘矩阵)与列变换(右乘矩阵)后得到的就是等价矩阵。

求逆矩阵的一种方式。

二. 矩阵的秩

1. k阶子式的概念

等价的引理

2. 秩的定义

最高阶非零子式的阶数:秩。

3. 秩的性质

性质 描述
1. 转置矩阵与其矩阵的秩相同
2. 可逆矩阵又称满秩矩阵
3. 如果A、B矩阵等价,则秩相同
4. 由定理2,能够引出:经过初等行变换, 变换为行阶梯矩阵能够求出矩阵的秩。
5. 两个矩阵组成的秩
6. 两个矩阵相乘的秩
7. 矩阵相乘=0
8. 矩阵相乘=0,由矩阵相乘的行列式可以得出来

三. 线性方程组的解

1. 线性方程组的向量形式

2. 线性方程组解的讨论

3. 定理

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