数据结构——并查集

一、并查集

并查集是一种树型的数据结构 ，用来处理不相交集合的元素合并和查询问题。

思想：用一个数组表示整片森林，每棵树的根节点标识该集合，只要找到某个元素对应的树根，就能确定它的集合。

二、并查集的相关操作

首先用一个数组 Parent 记录每个节点对应的父节点 ，Parent $i$ 表示 i 的父节点**。**

1.初始化

每个节点都没有与其他的节点相连（构成集合），即每个节点都是所在集合的根节点，

复制代码

for (int i=1;i<=n;i++)  Parent[i]=i;

2.查找Find

查询某元素所在集合的根节点。

操作过程：对于一个集合，通过不断的迭代 Parent 数组，直至找到的节点

复制代码

int find(int x)					//查找x的根节点
{
	while(parent[x]!=x)			// x 的父亲不是自己（不是根节点）
		x=parent[x];			// 迭代向上寻找
	return x;
}

3.合并Union

将两个子集合并成一个集合。

操作过程：

①将两个元素（x，y）所在的集合合并，需要通过 Find 函数找到两个元素对应的根节点；

②如果两个根节点相同（即在同一集合内），不需要合并，若两根节点不相同，选择其中一个根节点作为另一个节点的父亲，合并成一个新集合。

合并后：

复制代码

void union(int x,int y)                     //合并 x y 所在集合
{
    int fx=find(x),fy=find(y);            //找到两个节点对应的根节点
    if(fx!=fy)                           // 不在一个集合中
        parent[fx]=fy;                   // fy 作为 fx 的父节点
}

三、并查集的优化

1.路径压缩（优化 Find() 函数）

在合并 Union 操作中，通过以下操作将两个集合合并，即将节点 fx 接在节点 fy 后。

if(fx!=fy) parent $fx$ =fy;

通常情况下，数据过大导致不断合并，会存在多种情况，最终的树状结构无法预计，即有可能是均匀 n 叉树，也有可能是单支树结构。当树型结构为单支树，Find() 函数中，每次寻找树根节点都要不断向上搜索，此时效率大大降低复杂度为 O(n)。

通过路径压缩，直接将每个节点都指向树根节点，这样大大降低时间消耗，只需要递归一次即可找到树根节点。

代码实现：

将单支树转化成路径压缩后，只需要 Find函数不断向上递归的过程中更新parent数组，即将路径上点的parent数组全部更新为根节点。

复制代码

int find(int x)					//查找x的根节点
{
	if(parent[x]==x) return x;		// 根节点
	return parent[x]=find(parent[x]); // 向上递归
}

2.按秩合并（以树高举例）

在Union操作中，以两个根节点的树高 来判断两点哪点为父节点，为了使树更加均衡，通常将树高更大的点作为父节点，如下图所示。

实现：使用 rank() 数组记录树高

当 rank $fx$ <rank $fy$ ，则 parent $fx$ =fy

当 rank $fx$ ==rank $fy$ ，则两点均可作为对方的父节点，这里以 parent $fx$ =fy 为例，并且将 rank $fy$ ++

当 rank $fx$ >rank $fy$ ，则 parent $fy$ =fx

复制代码

void union(int x,int y)                     //合并 x y 所在集合
{
    int fx=find(x),fy=find(y);            //找到两个节点对应的根节点
    if(rank[fx]<rank[fy]) parent[fx]=fy; // fy 更高，将 fx 接在 fy 上
    if(rank[fx]>rank[fy]) parent[fy]=fx; // fx 更高，将 fy 接在 fx 上
    if(rank[fx]==rank[fy])  //二者等高，选择其一即可
    {
        parent[fx]=fy; 
        rank[fy]++;               
}