【算法】快速幂

算法-快速幂

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前置知识

• 倍增

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思路

我们要求 a n a^n an。

简单的方法是 a n = a n − 1 ⋅ a a^n=a^{n-1}\cdot a an=an−1⋅a

但是我们不妨使用倍增的思想

若 2 ∣ n 2\mid n 2∣n，则 a n = a n 2 2 a^n={a^{\frac n 2}}^2 an=a2n2

若 2 ∤ n 2\nmid n 2∤n，则 a n = a ⌊ n 2 ⌋ 2 ⋅ a a^n={a^{\lfloor{\frac n 2}\rfloor}}^2\cdot a an=a⌊2n⌋2⋅a

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算法参数

• 时间复杂度： O ( log ⁡ n ) O(\log n) O(logn)
• 空间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)

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实现代码

• 基础版本

int pow(int x,int y){
    int res=1;
    while (y){
        if (y&1) res=res*x;
        x=x*x;
        y>>=1;
    }
    return res;
}

• 取模版本

int pow(int x,int y,int M){
    int res=1;
    while (y){
        if (y&1) res=res*x%M;
        x=x*x%M;
        y>>=1;
    }
    return res;
}

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练习

• P1226