Einstein Summation 爱因斯坦求和 torch.einsum
flyfish
理解爱因斯坦求和的基本概念和语法，这对初学者来说可能有一定难度。对于不熟悉该表示法的用户来说，可能不如直接的矩阵乘法表达式易于理解。
整个思路是
向量的点积 -》矩阵乘法-》einsum
向量之间的点积在几何上表示两个向量的投影和夹角，在代数上用于衡量向量的相似性，并且在物理学中用于计算力做的功。
矩阵乘法是由多个向量点积组成的，可以看作是多个向量点积的组合
einsum 操作可以用其他内置的矩阵运算函数来实现
使用 einsum 进行矩阵乘法
python
import torch
# 定义两个矩阵
A = torch.randn(2, 3)
B = torch.randn(3, 4)
# 使用 einsum 表示矩阵乘法
C = torch.einsum('ik,kj->ij', A, B)
print(C)使用 matmul 进行矩阵乘法
python
import torch
# 定义两个矩阵
A = torch.randn(2, 3)
B = torch.randn(3, 4)
# 使用 matmul 表示矩阵乘法
C = torch.matmul(A, B)
print(C)开始解释
向量之间的点积（也称为内积或标量积）在数学、物理学和计算中有着重要的意义。点积是两个向量乘积的一种特殊形式，其结果是一个标量。点积在许多领域中都有广泛的应用，包括向量的投影、计算角度、物理学中的功、机器学习中的相似性度量等。
点积的定义
给定两个n维向量 a \mathbf{a} a 和 b \mathbf{b} b，它们的点积定义如下：
a ⋅ b = ∑ i = 1 n a i b i \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i a⋅b=∑i=1naibi
点积的几何意义
- 计算向量间的夹角 ：
点积可以用来计算两个向量之间的夹角 θ \theta θ。根据点积的定义，可以得到：
a ⋅ b = ∥ a ∥ ∥ b ∥ cos ( θ ) \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \cos(\theta) a⋅b=∥a∥∥b∥cos(θ)
其中 ∥ a ∥ \|\mathbf{a}\| ∥a∥ 和 ∥ b ∥ \|\mathbf{b}\| ∥b∥ 分别是向量 a \mathbf{a} a 和 b \mathbf{b} b 的模（或长度）。因此，可以通过点积计算两个向量之间的夹角：
cos ( θ ) = a ⋅ b ∥ a ∥ ∥ b ∥ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|} cos(θ)=∥a∥∥b∥a⋅b - 投影 ：
点积可以用来计算一个向量在另一个向量方向上的投影。例如，向量 a \mathbf{a} a 在向量 b \mathbf{b} b 方向上的投影长度为：
proj b a = a ⋅ b ∥ b ∥ \text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|} projba=∥b∥a⋅b
点积的代数意义
- 向量相似性 ：
在机器学习和数据分析中，点积可以用来衡量两个向量之间的相似性。如果两个向量的方向相同，它们的点积为正；如果两个向量的方向相反，它们的点积为负；如果两个向量正交，它们的点积为零。 - 功的计算 ：
在物理学中，点积用于计算力和位移的乘积，即功。例如，如果一个物体在力 F \mathbf{F} F 的作用下移动了位移 d \mathbf{d} d，则做的功为：
W = F ⋅ d W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} W=F⋅d
例子
计算两个二维向量的点积
假设 a = [ a 1 , a 2 ] \mathbf{a} = [a_1, a_2] a=[a1,a2] 和 b = [ b 1 , b 2 ] \mathbf{b} = [b_1, b_2] b=[b1,b2]，它们的点积为：
a ⋅ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 a⋅b=a1b1+a2b2
python
import numpy as np
# 定义两个向量
a = np.array([1, 2])
b = np.array([3, 4])
# 计算点积
dot_product = np.dot(a, b)
print(dot_product) # 输出: 11计算两个三维向量的夹角
假设 a = [ a 1 , a 2 , a 3 ] \mathbf{a} = [a_1, a_2, a_3] a=[a1,a2,a3] 和 b = [ b 1 , b 2 , b 3 ] \mathbf{b} = [b_1, b_2, b_3] b=[b1,b2,b3]，它们的点积和夹角计算如下：
python
import numpy as np
# 定义两个向量
a = np.array([1, 0, 0])
b = np.array([0, 1, 0])
# 计算点积
dot_product = np.dot(a, b)
# 计算向量的模
norm_a = np.linalg.norm(a)
norm_b = np.linalg.norm(b)
# 计算夹角的余弦值
cos_theta = dot_product / (norm_a * norm_b)
theta = np.arccos(cos_theta)
print(f"夹角: {np.degrees(theta)} 度") # 输出: 90.0 度矩阵乘法
矩阵乘法是两个矩阵 A A A 和 B B B 的乘积 C C C，其中：
- 矩阵 A A A 的形状为 m × n m \times n m×n
- 矩阵 B B B 的形状为 n × p n \times p n×p
- 矩阵 C C C 的形状为 m × p m \times p m×p
矩阵乘法的定义是：
C i j = ∑ k = 1 n A i k B k j C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj} Cij=∑k=1nAikBkj
换句话说，矩阵 C C C 的元素 C i j C_{ij} Cij 是矩阵 A A A 的第 i i i 行和矩阵 B B B 的第 j j j 列的点积。
从矩阵乘法到向量点积
考虑两个矩阵 A A A 和 B B B，我们可以将矩阵乘法分解为一系列的向量点积：
- 提取行向量和列向量：
- 矩阵 A A A 的第 i i i 行可以表示为向量 a i \mathbf{a_i} ai。
- 矩阵 B B B 的第 j j j 列可以表示为向量 b j \mathbf{b_j} bj。
- 计算点积：
- C i j C_{ij} Cij 是向量 a i \mathbf{a_i} ai 和向量 b j \mathbf{b_j} bj 的点积，即：
C i j = a i ⋅ b j C_{ij} = \mathbf{a_i} \cdot \mathbf{b_j} Cij=ai⋅bj
例如，考虑矩阵 A A A 和 B B B：
A = ( 1 2 3 4 ) A =\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix} A=(1324)
B = ( 5 6 7 8 ) B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{pmatrix} B=(5768)
它们的乘积 C = A B C = AB C=AB 为：
C = ( 1 ⋅ 5 + 2 ⋅ 7 1 ⋅ 6 + 2 ⋅ 8 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 7 3 ⋅ 6 + 4 ⋅ 8 ) = ( 19 22 43 50 ) C = \begin{pmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 & 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 & 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \\ \end{pmatrix} C=(1⋅5+2⋅73⋅5+4⋅71⋅6+2⋅83⋅6+4⋅8)=(19432250)
在这里：
C 11 = 1 ⋅ 5 + 2 ⋅ 7 = 19 C 12 = 1 ⋅ 6 + 2 ⋅ 8 = 22 C 21 = 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 7 = 43 C 22 = 3 ⋅ 6 + 4 ⋅ 8 = 50 C_{11} = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19 \\ C_{12} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22 \\ C_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43 \\ C_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50 C11=1⋅5+2⋅7=19C12=1⋅6+2⋅8=22C21=3⋅5+4⋅7=43C22=3⋅6+4⋅8=50
使用 PyTorch 进行矩阵乘法和点积
以下是如何在 PyTorch 中实现矩阵乘法和向量点积：
python
import torch
# 定义两个矩阵
A = torch.tensor([[1, 2], [3, 4]])
B = torch.tensor([[5, 6], [7, 8]])
# 使用 torch.matmul 进行矩阵乘法
C = torch.matmul(A, B)
print(C)
# 输出:
# tensor([[19, 22],
# [43, 50]])
# 提取行向量和列向量
a1 = A[0, :] # A 的第一行
b1 = B[:, 0] # B 的第一列
# 计算点积
dot_product = torch.dot(a1, b1)
print(dot_product)
# 输出: tensor(19)爱因斯坦求和
爱因斯坦求和约定（Einstein Summation Convention）是一种在物理学和数学中简化张量运算表示的方法。它由阿尔伯特·爱因斯坦在他的广义相对论论文中引入。这个约定的核心思想是通过省略求和符号（∑），简化公式的书写，增强表达的简洁性和可读性。
背景与起源
在物理学中，尤其是在处理广义相对论和量子力学中的张量时，常常需要进行大量的求和运算。为了简化这些计算的书写，爱因斯坦提出了一种简便的表示法：对于任何重复出现的指标，默认对其进行求和。
具体规则
- 求和隐含性 ：在一个表达式中，如果一个指标（下标或上标）在一个单项式中出现两次，则认为对该指标求和。例如： a i b i = ∑ i a i b i a_i b_i = \sum_{i} a_i b_i aibi=∑iaibi在这种表示法中，i 被称为"哑指标"或"虚指标"。
- 自由指标 ：如果一个指标在表达式中仅出现一次，则称其为自由指标，这个指标代表一个范围的所有可能值。例如： c i = a i j b j c_i = a_{ij} b_j ci=aijbj这里的 i 是自由指标，而 j 是哑指标。
- 多重求和 ：可以在一个表达式中使用多个哑指标进行多重求和。例如： d = a i j b j k c k d = a_{ij} b_{jk} c_k d=aijbjkck在这个例子中，j 和 k 都是哑指标，意味着： d = ∑ j ∑ k a i j b j k c k d = \sum_{j} \sum_{k} a_{ij} b_{jk} c_k d=∑j∑kaijbjkck
在使用 torch.einsum 时，我们可以利用爱因斯坦求和约定来简洁地表示矩阵乘法、张量收缩等操作：
python
import torch
# 矩阵乘法
A = torch.randn(3, 4)
B = torch.randn(4, 5)
C = torch.einsum('ik,kj->ij', A, B)在上面的例子中，'ik,kj->ij' 表示矩阵乘法，其中 k k k 是求和下标，最终结果的维度由 i i i 和 j j j 确定。
'ik,kj->ij' 是爱因斯坦求和约定在 torch.einsum 中的一个具体应用，表示矩阵乘法。让我们详细解析一下这个表示：
表达式解析
- 输入张量：
- 假设我们有两个矩阵 A 和 B。
- A 的形状为 (i, k)，即 A 有 i 行和 k 列。
- B 的形状为 (k, j)，即 B 有 k 行和 j 列。
- 爱因斯坦求和约定：
- 'ik,kj->ij' 中的 ik 和 kj 分别对应输入张量 A 和 B 的维度标签。
- 中间的 , 用于分隔多个输入张量的维度标签。
- 箭头 -> 左侧表示输入张量的维度标签，右侧表示输出张量的维度标签。
- 'ik,kj' 表示对两个输入张量 A 和 B 进行操作，其中 k 是求和下标。
- 求和与输出：
- 在 'ik,kj' 中，k 是求和下标，表示我们要对 k 维度进行求和。
- i 和 j 出现在箭头 -> 右侧，表示输出张量的维度标签。
举例说明
假设我们有两个矩阵：
A = ( a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32 ) , B = ( b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 ) A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{pmatrix} A= a11a21a31a12a22a32 ,B=(b11b21b12b22b13b23)
其中：
- A A A 是一个 3 × 2 3 \times 2 3×2 的矩阵，对应维度标签 'ik'（即 i = 3 i = 3 i=3, k = 2 k = 2 k=2）。
- B B B 是一个 2 × 3 2 \times 3 2×3 的矩阵，对应维度标签 'kj'（即 k = 2 k = 2 k=2, j = 3 j = 3 j=3）。
使用 torch.einsum 表示矩阵乘法：
python
import torch
A = torch.tensor([[a11, a12],
[a21, a22],
[a31, a32]])
B = torch.tensor([[b11, b12, b13],
[b21, b22, b23]])
C = torch.einsum('ik,kj->ij', A, B)矩阵乘法过程
'ik,kj->ij' 表示通过对 k 维度进行求和，得到输出矩阵 C：
C = A ⋅ B C = A \cdot B C=A⋅B
其中：
C i j = ∑ k A i k B k j C_{ij} = \sum_{k} A_{ik} B_{kj} Cij=∑kAikBkj
即：
C i j = A i 1 B 1 j + A i 2 B 2 j C_{ij} = A_{i1}B_{1j} + A_{i2}B_{2j} Cij=Ai1B1j+Ai2B2j
结果
根据上面的定义，最终的结果 C 是一个 3 × 3 3 \times 3 3×3 的矩阵：
C = ( c 11 c 12 c 13 c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33 ) C = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{pmatrix} C= c11c21c31c12c22c32c13c23c33
每个元素 c i j c_{ij} cij 由对应的矩阵乘法和求和计算得到。
注意力机制
在编写注意力的时候有这样的代码
scores = torch.einsum("blhe,bshe->bhls", queries, keys)
从向量内积的角度解释
假设 queries 和 keys 的形状分别为 ( B , L , H , E ) (B, L, H, E) (B,L,H,E) 和 ( B , S , H , E ) (B, S, H, E) (B,S,H,E)，其中:
- B B B 是批次大小 (Batch Size)
- L L L 是查询序列的长度 (Length of queries)
- S S S 是键序列的长度 (Length of keys)
- H H H 是注意力头的数量 (Number of heads)
- E E E 是嵌入维度 (Embedding Dimension)
我们计算 queries 和 keys 在嵌入维度 E E E 上的内积，即通过 torch.einsum("blhe,bshe->bhls", queries, keys) 来计算注意力得分。
示例
假设我们有以下输入：
python
import torch
queries = torch.tensor([
[
[[0.5, 1.2], [0.3, 0.7]], # 第一个 query 序列，两个头，每个头两个维度
[[1.5, 2.2], [1.3, 1.7]], # 第二个 query 序列，两个头，每个头两个维度
]
]) # 形状 (1, 2, 2, 2)
keys = torch.tensor([
[
[[0.8, 1.5], [0.4, 0.9]], # 第一个 key 序列，两个头，每个头两个维度
[[1.1, 2.3], [1.0, 1.5]], # 第二个 key 序列，两个头，每个头两个维度
]
]) # 形状 (1, 2, 2, 2)这里 queries 和 keys 的形状都是 (1, 2, 2, 2)，表示 1 个批次，2 个序列，2 个头，每个头 2 个维度。
我们希望计算注意力得分矩阵 scores，其形状为 (1, 2, 2, 2)。
计算步骤
使用 torch.einsum 计算 scores：
python
scores = torch.einsum("blhe,bshe->bhls", queries, keys)
print(scores)手动计算
头 1：
- 第一个 query 序列和第一个 key 序列的内积：
0.5 × 0.8 + 1.2 × 1.5 = 0.4 + 1.8 = 2.2 0.5 \times 0.8 + 1.2 \times 1.5 = 0.4 + 1.8 = 2.2 0.5×0.8+1.2×1.5=0.4+1.8=2.2 - 第一个 query 序列和第二个 key 序列的内积：
0.5 × 1.1 + 1.2 × 2.3 = 0.55 + 2.76 = 3.31 0.5 \times 1.1 + 1.2 \times 2.3 = 0.55 + 2.76 = 3.31 0.5×1.1+1.2×2.3=0.55+2.76=3.31 - 第二个 query 序列和第一个 key 序列的内积：
1.5 × 0.8 + 2.2 × 1.5 = 1.2 + 3.3 = 4.5 1.5 \times 0.8 + 2.2 \times 1.5 = 1.2 + 3.3 = 4.5 1.5×0.8+2.2×1.5=1.2+3.3=4.5 - 第二个 query 序列和第二个 key 序列的内积：
1.5 × 1.1 + 2.2 × 2.3 = 1.65 + 5.06 = 6.71 1.5 \times 1.1 + 2.2 \times 2.3 = 1.65 + 5.06 = 6.71 1.5×1.1+2.2×2.3=1.65+5.06=6.71
头 2：
- 第一个 query 序列和第一个 key 序列的内积：
0.3 × 0.4 + 0.7 × 0.9 = 0.12 + 0.63 = 0.75 0.3 \times 0.4 + 0.7 \times 0.9 = 0.12 + 0.63 = 0.75 0.3×0.4+0.7×0.9=0.12+0.63=0.75 - 第一个 query 序列和第二个 key 序列的内积：
0.3 × 1.0 + 0.7 × 1.5 = 0.3 + 1.05 = 1.35 0.3 \times 1.0 + 0.7 \times 1.5 = 0.3 + 1.05 = 1.35 0.3×1.0+0.7×1.5=0.3+1.05=1.35 - 第二个 query 序列和第一个 key 序列的内积：
1.3 × 0.4 + 1.7 × 0.9 = 0.52 + 1.53 = 2.05 1.3 \times 0.4 + 1.7 \times 0.9 = 0.52 + 1.53 = 2.05 1.3×0.4+1.7×0.9=0.52+1.53=2.05 - 第二个 query 序列和第二个 key 序列的内积：
1.3 × 1.0 + 1.7 × 1.5 = 1.3 + 2.55 = 3.85 1.3 \times 1.0 + 1.7 \times 1.5 = 1.3 + 2.55 = 3.85 1.3×1.0+1.7×1.5=1.3+2.55=3.85
最终结果
根据上述计算，我们可以得到：
python
scores = torch.tensor([
[
[[2.2, 3.31], [4.5, 6.71]], # 第一个头的得分
[[0.75, 1.35], [2.05, 3.85]] # 第二个头的得分
]
])使用 PyTorch 计算
运行以下代码验证手动计算结果：
python
import torch
queries = torch.tensor([
[
[[0.5, 1.2], [0.3, 0.7]],
[[1.5, 2.2], [1.3, 1.7]],
]
])
keys = torch.tensor([
[
[[0.8, 1.5], [0.4, 0.9]],
[[1.1, 2.3], [1.0, 1.5]],
]
])
scores = torch.einsum("blhe,bshe->bhls", queries, keys)
print(scores)输出：
plaintext
tensor([[[[2.2000, 3.3100],
[4.5000, 6.7100]],
[[0.7500, 1.3500],
[2.0500, 3.8500]]]])从矩阵乘法的角度解释
使用矩阵乘法计算
为了将 queries 和 keys 的计算表示成矩阵乘法，我们可以按以下步骤操作：
- 调整形状：
- 将 queries 和 keys 调整形状，使每个头的查询和键序列变成矩阵。
- 矩阵乘法：
- 对每个头分别进行矩阵乘法。
调整形状并进行矩阵乘法
我们将 queries 和 keys 形状从 (B, L, H, E) 和 (B, S, H, E) 调整为 (B, H, L, E) 和 (B, H, E, S)，以便进行矩阵乘法。
python
queries_reshaped = queries.permute(0, 2, 1, 3) # (B, H, L, E)
keys_reshaped = keys.permute(0, 2, 3, 1) # (B, H, E, S)
# 使用矩阵乘法
scores_matmul = torch.matmul(queries_reshaped, keys_reshaped) # (B, H, L, S)
print(scores_matmul)输出：
plaintext
tensor([[[[2.2000, 3.3100],
[4.5000, 6.7100]],
[[0.7500, 1.3500],
[2.0500, 3.8500]]]])这里的矩阵乘法使用 torch.matmul ，没有使用 torch.mm
torch.matmul 和 torch.mm 是 PyTorch 中用于矩阵乘法的两个函数，但它们在适用的张量维度上有一些不同。具体来说：
torch.mm
- 用途：专门用于两个二维矩阵（矩阵）之间的乘法。
- 输入：必须是两个二维张量，形状分别为 (m, n) 和 (n, p)。
- 输出 ：结果是一个二维张量，形状为 (m, p)。
示例：
python
import torch
# 定义两个二维矩阵
A = torch.randn(2, 3)
B = torch.randn(3, 4)
# 使用 torch.mm 进行矩阵乘法
C = torch.mm(A, B)
print(C.shape) # 输出: torch.Size([2, 4])torch.matmul
- 用途：更通用的矩阵乘法函数，可以处理二维及以上的张量。
- 输入：可以是二维矩阵，也可以是具有更多维度的张量。
- 输出：根据输入张量的维度，输出可能是一个矩阵或更高维度的张量。
- 广播 ：torch.matmul 可以处理广播（broadcasting），即输入张量的形状可以不完全匹配，但需要满足广播规则。
示例：
python
import torch
# 定义两个二维矩阵
A = torch.randn(2, 3)
B = torch.randn(3, 4)
# 使用 torch.matmul 进行矩阵乘法
C = torch.matmul(A, B)
print(C.shape) # 输出: torch.Size([2, 4])
# 定义两个三维张量
A_3d = torch.randn(5, 2, 3)
B_3d = torch.randn(5, 3, 4)
# 使用 torch.matmul 进行三维张量的矩阵乘法
C_3d = torch.matmul(A_3d, B_3d)
print(C_3d.shape) # 输出: torch.Size([5, 2, 4])
# 广播示例
A_broadcast = torch.randn(2, 3)
B_broadcast = torch.randn(5, 3, 4)
# A_broadcast 的形状将广播成 (5, 2, 3)
C_broadcast = torch.matmul(A_broadcast, B_broadcast)
print(C_broadcast.shape) # 输出: torch.Size([5, 2, 4])主要区别
permute
在 PyTorch 中，permute 是一个张量（tensor）的方法，用于改变张量的维度顺序。这个操作不会改变张量的数据，只是重新排列它的维度。这对于需要改变数据的形状以适应不同操作的需求非常有用。
举例来说，如果你有一个形状为 (batch_size, height, width, channels) 的图像张量，而你的模型需要输入形状为 (batch_size, channels, height, width) 的张量，你可以使用 permute 方法来重新排列维度。
以下是一个简单的例子：
python
import torch
# 创建一个形状为 (2, 3, 4, 5) 的随机张量
x = torch.randn(2, 3, 4, 5)
# 使用 permute 方法改变维度顺序
x_permuted = x.permute(0, 3, 1, 2)
# 打印新张量的形状
print(x_permuted.shape) # 输出: torch.Size([2, 5, 3, 4])在这个例子中：
- 原始张量 x 的形状为 (2, 3, 4, 5)。
- 调用 x.permute(0, 3, 1, 2) 后，新张量 x_permuted 的形状变为 (2, 5, 3, 4)。
permute 方法的参数是新维度顺序的索引。例如，x.permute(0, 3, 1, 2) 意味着将第 0 维保持不变，将原第 3 维移到第 1 位置，将原第 1 维移到第 2 位置，将原第 2 维移到第 3 位置。
https://pytorch.org/docs/stable/generated/torch.transpose.html