欧拉恒等式
对于任何正整数n和任何整数a，满足gcd(a, n) = 1（即a和n互素）时，有 a φ ( n ) ≡ 1 ( % n ) a^{\varphi(n)}\equiv1(\%n) aφ(n)≡1(%n)。
证明（原创方法）
一. a a a 为素数的情况：
1. a a a 为素数且 n n n 为素数的情况：
a φ ( n ) = a n − 1 a^{\varphi(n)}=a^{n-1} aφ(n)=an−1。
利用费马小定理得 a n − 1 ≡ 1 ( % n ) a^{n-1}\equiv 1(\%n) an−1≡1(%n)。
所以 a φ ( n ) ≡ 1 a^{\varphi(n)}\equiv1 aφ(n)≡1 成立。
2. a a a 为素数且 n n n 为合数的情况：
将 n n n 进行质因数分解得： a φ ( n ) = a φ ( p 1 × p 2 × ... × p k ) a^{\varphi(n)}=a^{\varphi(p_1 \times p_2 \times \ldots \times p_k)} aφ(n)=aφ(p1×p2×...×pk)
利用欧拉函数得乘法性质得： a φ ( p 1 × p 2 × ... × p k ) = a φ ( p 1 ) × φ ( p 2 ) × ... × φ ( p k ) a^{\varphi(p_1 \times p_2 \times \ldots \times p_k)}=a^{\varphi(p_1) \times\varphi(p_2)\times\ldots\times\varphi(p_k)} aφ(p1×p2×...×pk)=aφ(p1)×φ(p2)×...×φ(pk)
变形得：
= ( a φ ( p 1 ) ) φ ( p 2 × ... × p k ) =(a^{\varphi(p_1)})^{\varphi(p_2\times\ldots\times p_k)} =(aφ(p1))φ(p2×...×pk)
% n \%n %n 得：
= ( a φ ( p 1 ) ) φ ( p 2 × ... × p k ) % n =(a^{\varphi(p_1)})^{\varphi(p_2\times\ldots\times p_k)}\%n =(aφ(p1))φ(p2×...×pk)%n
= ( a φ ( p 1 ) % n ) φ ( p 2 × ... × p k ) % n =(a^{\varphi(p_1)}\%n)^{\varphi(p_2\times\ldots\times p_k)}\%n =(aφ(p1)%n)φ(p2×...×pk)%n
= 1 φ ( p 2 × ... × p k ) =1^{\varphi(p_2\times\ldots\times p_k)} =1φ(p2×...×pk)
= 1 =1 =1，成立。
二. a a a 为合数得情况
将 a a a 进行质因数分解得： ( q 1 × q 2 × ... × q s ) φ ( n ) (q_1\times q_2\times\ldots\times q_s)^{\varphi(n)} (q1×q2×...×qs)φ(n)
= q 1 φ ( n ) × q 2 φ ( n ) × ... × q s φ ( n ) =q_1^{\varphi(n)}\times q_2^{\varphi(n)}\times\ldots\times q_s^{\varphi(n)} =q1φ(n)×q2φ(n)×...×qsφ(n)
% n 得： q 1 φ ( n ) % n × q 2 φ ( n ) % n × ... × q s φ ( n ) % n \%n 得：q_1^{\varphi(n)}\%n\times q_2^{\varphi(n)}\%n\times\ldots\times q_s^{\varphi(n)}\%n %n得：q1φ(n)%n×q2φ(n)%n×...×qsφ(n)%n
用上面得出得结论得： 1 × 1 × ... × 1 = 1 1\times1\times\ldots\times1=1 1×1×...×1=1
至此，证毕。
废话
我证了4天，整整4天！