37、matlab矩阵运算

1、前言

矩阵运算是指对矩阵的各种操作和运算，包括矩阵加法、矩阵减法、矩阵乘法、矩阵转置、求逆矩阵等。以下是常见的矩阵运算：

矩阵加法：对应位置的元素相加，要求加数和被加数的维度相同。

A + B = | a11 b11 | + | a12 b12 | | a21 b21 | | a22 b22 |
矩阵减法：对应位置的元素相减，要求减数和被减数的维度相同。

A - B = | a11 b11 | - | a12 b12 | | a21 b21 | | a22 b22 |
矩阵乘法：按照行乘列的方式计算，要求左矩阵的列数等于右矩阵的行数。

AB = A的行 * B的列
矩阵转置：将矩阵的行与列进行交换，即将A的第i行第j列元素变为转置矩阵A^T的第j行第i列元素。

对于矩阵A，A^T表示其转置矩阵。
矩阵求逆：对于方阵，如果其行列式不为0，则可以求其逆矩阵A^-1。

如果A是一个可逆矩阵，那么AA^-1 = A^-1A = I，其中I是单位矩阵。

矩阵运算在线性代数、数值分析、工程计算等领域有广泛的应用。例如，在解线性方程组、特征值问题、最小二乘拟合、图像处理等方面都需要用到矩阵运算。熟练掌握矩阵运算的规则和性质对于理解和应用数学模型非常重要。

2、transpose, .' 转置向量或矩阵

语法

B = A.' 返回 A 的非共轭转置，即每个元素的行和列索引都会互换。

B = transpose(A) 是执行 A.' 的另一种方式，它可以为类启用运算符重载。

1）实矩阵转置

代码及运算

Matlab 复制代码

A = magic(5)
B = A.'

A =

    17    24     1     8    15
    23     5     7    14    16
     4     6    13    20    22
    10    12    19    21     3
    11    18    25     2     9


B =

    17    23     4    10    11
    24     5     6    12    18
     1     7    13    19    25
     8    14    20    21     2
    15    16    22     3     9

2）复矩阵转置

代码及运算

Matlab 复制代码

A = [1 3 4-1i 2+2i; 0+1i 1-1i 5 6-1i]
B = A.'

A =

   1.0000 + 0.0000i   3.0000 + 0.0000i   4.0000 - 1.0000i   2.0000 + 2.0000i
   0.0000 + 1.0000i   1.0000 - 1.0000i   5.0000 + 0.0000i   6.0000 - 1.0000i


B =

   1.0000 + 0.0000i   0.0000 + 1.0000i
   3.0000 + 0.0000i   1.0000 - 1.0000i
   4.0000 - 1.0000i   5.0000 + 0.0000i
   2.0000 + 2.0000i   6.0000 - 1.0000i

3、 ctranspose, ' 复共轭转置

语法

B = A' 计算 A 的复共轭转置。

B = ctranspose(A) 是执行 A' 的替代方法

1）实矩阵的共轭转置

代码及运算

Matlab 复制代码

A = [2 1; 9 7; 2 8; 3 5]
B = A'

A =

     2     1
     9     7
     2     8
     3     5


B =

     2     9     2     3
     1     7     8     5

2）复矩阵的共轭转置

代码及运算

Matlab 复制代码

A = [0-1i 2+1i;4+2i 0-2i]
B = A'

A =

   0.0000 - 1.0000i   2.0000 + 1.0000i
   4.0000 + 2.0000i   0.0000 - 2.0000i


B =

   0.0000 + 1.0000i   4.0000 - 2.0000i
   2.0000 - 1.0000i   0.0000 + 2.0000i

4、 mtimes, * 矩阵乘法

语法

C = A*B 是 A 和 B 的矩阵乘积。

C = mtimes(A,B) 是执行 A*B 这一操作的替代方法

1）将两个向量相乘

代码及运算

Matlab 复制代码

A = [1 1 0 0];
B = [1; 2; 3; 4];
C1 = A*B
C2 = B*A

C1 =

     3


C2 =

     1     1     0     0
     2     2     0     0
     3     3     0     0
     4     4     0     0

2）将两个数组相乘

代码及运算

Matlab 复制代码

A = [1 3 5; 2 4 7];
B = [-5 8 11; 3 9 21; 4 0 8];
C = A*B

C =

    24    35   114
    30    52   162

5、 mpower, ^ 矩阵幂

语法

C = A^B 计算 A 的 B 次幂并将结果返回给 C。

C = mpower(A,B) 是执行 A^B 的替代方法，但很少使用。

1）方阵幂运算

代码及运算

Matlab 复制代码

A = [1 2; 3 4];
C = A^2

C =

     7    10
    15    22

2）矩阵指数

代码及运算

Matlab 复制代码

 B = [0 1; 1 0];
C = 2^B

C =

    1.2500    0.7500
    0.7500    1.2500

6、 sqrtm 矩阵平方根

语法

X = sqrtm(A) 返回矩阵 A 的主要平方根（即 X*X = A）。

[X,residual] = sqrtm(A) 还会返回残差 residual = norm(A-X^2,1)/norm(A,1)

[X,alpha,condx] = sqrtm(A) 以 1-范数形式返回稳定因子 alpha 和 X 的矩阵平方根条件数的估计值，即 condx。

1）差分算子的矩阵平方根

代码及运算

Matlab 复制代码

A = [5 -4 1 0 0; -4 6 -4 1 0; 1 -4 6 -4 1; 0 1 -4 6 -4; 0 0 1 -4 6]
X = sqrtm(A)

A =

     5    -4     1     0     0
    -4     6    -4     1     0
     1    -4     6    -4     1
     0     1    -4     6    -4
     0     0     1    -4     6


X =

    2.0015   -0.9971    0.0042    0.0046    0.0032
   -0.9971    2.0062   -0.9904    0.0118    0.0094
    0.0042   -0.9904    2.0171   -0.9746    0.0263
    0.0046    0.0118   -0.9746    2.0503   -0.9200
    0.0032    0.0094    0.0263   -0.9200    2.2700

2）具有多个平方根的矩阵

代码及运算

Matlab 复制代码

 A = [7 10; 15 22];
Y1 = [1.5667 1.7408; 2.6112 4.1779];
A - Y1*Y1
Y2 = [1 2; 3 4];
A - Y2*Y2
Y = sqrtm(A)

ans =

   1.0e-03 *

   -0.1258   -0.1997
   -0.2995   -0.4254


ans =

     0     0
     0     0


Y =

    1.5667    1.7408
    2.6112    4.1779

7、expm 矩阵指数

语法

Y = expm(X) 计算 X 的矩阵指数。

1）指数运算

代码及运算

Matlab 复制代码

A = [1 1 0; 0 0 2; 0 0 -1];
expm(A)

ans =

    2.7183    1.7183    1.0862
         0    1.0000    1.2642
         0         0    0.3679

8、 logm 矩阵对数

语法

L = logm(A) 是 A 的主矩阵对数，即 expm(A) 的倒数。

1）矩阵对数

代码及运算

Matlab 复制代码

 A = [1 1 0; 0 0 2; 0 0 -1];
P = logm(Y)

P =

   -0.3504    0.9294
    1.3940    1.0436

9、cross 叉积

语法

C = cross(A,B) 返回 A 和 B 的叉积。

C = cross(A,B,dim) 计算数组 A 和 B 沿维度 dim 的叉积。

1）向量的叉积

代码及运算

Matlab 复制代码

A = [4 -2 1];
B = [1 -1 3];
C = cross(A,B)

C =

    -5   -11    -2

2）矩阵的叉积

代码及运算

Matlab 复制代码

A = randi(15,3,5)
B = randi(25,3,5)
C = cross(A,B)

A =

    13    15     6     3    10
    11     1    12     8    11
     5     7    12     7    12


B =

     7     5    24     6    13
    17     3     9    19    18
    17    13    15     7    23


C =

   102    -8    72   -77    37
  -186  -160   198    21   -74
   144    40  -234     9    37

10、 dot 点积

语法

C = dot(A,B) 返回 A 和 B 的标量点积。

C = dot(A,B,dim) 计算 A 和 B 沿维度 dim 的点积。

1）实数向量的点积

代码及运算

Matlab 复制代码

A = [4 -1 2];
B = [2 -2 -1];
C = dot(A,B)

C =

     8

2）复数向量的点积

代码及运算

Matlab 复制代码

A = [1+i 1-i -1+i -1-i];
B = [3-4i 6-2i 1+2i 4+3i];
C = dot(A,B)
D = dot(A,A)

C =

   1.0000 - 5.0000i


D =

     8

3）矩阵的点积

代码及运算

Matlab 复制代码

 A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9];
B = [9 8 7;6 5 4;3 2 1];
C = dot(A,B)

C =

    54    57    54

4）多维数组的点积

代码及运算

Matlab 复制代码

A = cat(3,[1 1;1 1],[2 3;4 5],[6 7;8 9])
B= cat(3,[2 2;2 2],[10 11;12 13],[14 15; 16 17])
C = dot(A,B,3)

A(:,:,1) =

     1     1
     1     1


A(:,:,2) =

     2     3
     4     5


A(:,:,3) =

     6     7
     8     9


B(:,:,1) =

     2     2
     2     2


B(:,:,2) =

    10    11
    12    13


B(:,:,3) =

    14    15
    16    17


C =

   106   140
   178   220

37、matlab矩阵运算

1、前言

2、transpose, .' 转置向量或矩阵

语法

1）实矩阵转置

代码及运算

2）复矩阵转置

代码及运算

3、 ctranspose, ' 复共轭转置

语法

1）实矩阵的共轭转置

代码及运算

2） 复矩阵的共轭转置

代码及运算

4、 mtimes, * 矩阵乘法

语法

1）将两个向量相乘

代码及运算

2）将两个数组相乘

代码及运算

5、 mpower, ^ 矩阵幂

语法

1）方阵幂运算

代码及运算

2）矩阵指数

代码及运算

6、 sqrtm 矩阵平方根

语法

1）差分算子的矩阵平方根

代码及运算

2）具有多个平方根的矩阵

代码及运算

7、expm 矩阵指数

语法

1）指数运算

代码及运算

8、 logm 矩阵对数

语法

1）矩阵对数

代码及运算

9、cross 叉积

语法

1）向量的叉积

代码及运算

2）矩阵的叉积

代码及运算

10、 dot 点积

语法

1）实数向量的点积

代码及运算

2）复数向量的点积

代码及运算

3）矩阵的点积

代码及运算

4）多维数组的点积

代码及运算

2）复矩阵的共轭转置