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一：概述
倍增算法：是一种优化算法，通常应用在某些需要高效计算指数幂的场景。它基于分治的思想，通过反复求平方来实现快速计算指数幂的目的。通常应用在最近公共祖先问题、二分查找等等
二：典型题目
（1）题目一（快速幂）
倍增算法最经典的应用就是快速幂，快速幂算法是一种高效计算大整数幂的方法。如下快速幂计算 a b a^{b} ab
- 当 b b b为偶数时
a b = a b 2 ∗ a b 2 = ( a 2 ) b 2 a^{b} = a^{\frac{b}{2}}* a^{\frac{b}{2}}=(a^{2})^{\frac{b}{2}} ab=a2b∗a2b=(a2)2b
- **当 b b b为奇数时
a b = a ∗ a b 2 ∗ a b 2 = a ∗ ( a 2 ) b 2 a^{b} = a*a^{\frac{b}{2}}* a^{\frac{b}{2}}=a*(a^{2})^{\frac{b}{2}} ab=a∗a2b∗a2b=a∗(a2)2b
** b 2 \frac{b}{2} 2b向下取整，迭代求解，直到 b b b为0为止
java
public static long qmi(long a, long b, long p) {
long res = 1; // 初始化结果为 1
while (b > 0) { // 当指数 b 大于 0 时执行循环
if (b & 1 == 1) { // 判断指数 b 的最低位是否为 1
res = res * a % p; // 如果最低位为 1，则将底数 a 的当前幂乘到结果中，并取模 p
}
a = a * a % p; // 底数 a 自乘，相当于计算 a^2, a^4, a^8, ...
b >>= 1; // 将指数 b 右移一位，相当于将指数减半
}
return res; // 返回结果
}例如计算 2 13 2^{13} 213
-
r e s = 2 , a = 2 2 , b = 6 res=2,a=2^{2},b=6 res=2,a=22,b=6
-
r e s = 2 , a = 2 4 , b = 3 res=2,a=2^{4},b=3 res=2,a=24,b=3
-
r e s = 2 5 , a = 2 8 , b = 1 res=2^{5},a=2^{8},b=1 res=25,a=28,b=1
-
r e s = 2 13 , a = 2 16 , b = 0 res=2^{13},a=2^{16},b=0 res=213,a=216,b=0
-
倍增一般会和其他算法结合使用
（2）题目二（ST表求区间最值）
思路 ：见ST表第二节：ST表
java
int[] arr; // 给定的array
int n = arr.length;
// 预处理log数组，log[i]表示不大于i的最大二进制幂的指数
int[] log = new int[n+1];
log[1] = 0;
for(int i = 2; i <= n; i++) {
log[i] = log[i/2] + 1;
}
// 初始化ST表，st[i][j]表示从位置i开始，长度为2^J的区间的最值
int[][] st = new int[n][log[n]+1];
for(int i = 0; i < n; i++) {
st[i][0] = arr[i]; // 长度为1的区间的最值就是其本身
}
// 动态规划填表
for(int j = 1; j <= log[n]; j++) {
for(int i = 0; i + (1<<j) <=n; i++) {
st[i][j] = Math.max(st[i][j-1], st[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
}
// 查找区间[L,R]的最值
int k = log[R-L+1];
// 这两个区间为：[L, L+2^k-1]和[R-2^K+1,R]
return Math.max(st[L, k], st[R-(1<<j)+1][k])（3）题目三（最近公共祖先）
java
void dfs(int x, int u) {
dep[x] = dep[u] + 1;// 设置当前节点的深度
father[x][0] = u; // 直接父节点
// 倍增法处理向上父节点
for(int i = 1; i <= 20; i++) {
father[x][i] = father[father[x][i-1]][i-1];
}
// 递归
for(int y: list[x]) {
if (y != u)
dfs(y, x)
}
}
int lca(int x, int y) {
// 确保x是更深的节点
if (dep[x] < dep[y]) {
swap(x, y);
}
// x向上跳，使x和y在同一深度
for(int i = 20; i >= 0; i--) {
if(dep[father[x][i]]>=dep[y]) {
x = father[x][i];
}
}
// 如果x和y相等，则找到了lca
if (x == y)
return x;
// 否则，同时开始向上跳，寻找
for(int i = 20; i >= 0; i--) {
if(father[x][i] != father[y][i]) {
x = father[x][i];
y = father[y][i];
}
}
// 返回
return father[x][0];
}
int n; // 节点数量
List<Integer>[] list = new List[n+1]; // 邻接表
for(int i = 0; i <= n; i++) {
list[i] = new ArrayList<>();
}
int[] dep = new int[n+1]; // 每个节点的深度
int[][] father = new int[n+1][21]; // 倍增法，father[x][i]存储x的2^i父节点
// 深度搜索，初始化dep数组和father数组
dfs(1, 0);
// 求解x和y的lca
lca(x, y)