目录
[509. 斐波那契数](#509. 斐波那契数)
[70. 爬楼梯](#70. 爬楼梯)
[746. 使用最小花费爬楼梯](#746. 使用最小花费爬楼梯)
509. 斐波那契数
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文章讲解：代码随想录
动态规划法
- 斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是： F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1 给你n ，请计算 F(n) 。
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解题思路
- 用动态规划五部曲来做，加深动态规划理解
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解题步骤
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确定dp数组以及下标的含义：dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]
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确定递推公式： dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
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dp数组如何初始化：
dp[0] = 0; dp[1] = 1; -
确定遍历顺序：从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的
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举例推导dp数组：按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。
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代码一：动态规划
cpp
// 时间复杂度：O(n)
// 空间复杂度：O(n)
class Solution {
public:
int fib(int N) {
if (N <= 1) return N;
vector<int> dp(N + 1);
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= N; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[N];
}
};70. 爬楼梯
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文章讲解：代码随想
动态规划法
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解题思路
- 爬到第一层楼梯有一种方法，爬到二层楼梯有两种方法。那么第一层楼梯再跨两步就到第三层 ，第二层楼梯再跨一步就到第三层。所以到第三层楼梯的状态可以由第二层楼梯 和 到第一层楼梯状态推导出来，那么就可以想到动态规划了。
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解题步骤
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确定dp数组以及下标的含义：dp[i]： 爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法
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确定递推公式：从dp[i]的定义可以看出，dp[i] 可以有两个方向推出来。首先是dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。还有就是dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。
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dp数组如何初始化：再回顾一下dp[i]的定义：爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法。 那么i为0，dp[i]应该是多少呢，题目中说了n是一个正整数，题目根本就没说n有为0的情况。所以本题其实就不应该讨论dp[0]的初始化！不考虑dp[0]如何初始化，只初始化dp[1] = 1，dp[2] = 2，然后从i = 3开始递推，这样才符合dp[i]的定义。
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确定遍历顺序：从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历的
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举例推导dp数组：如果代码出问题了，就把dp table 打印出来，看看究竟是不是和自己推导的一样。此时大家应该发现了，这不就是斐波那契数列么！唯一的区别是，没有讨论dp[0]应该是什么，因为dp[0]在本题没有意义！
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代码一：动态规划
cpp
// 时间复杂度：$O(n)$
// 空间复杂度：$O(n)$
// 版本一
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
if (n <= 1) return n; // 因为下面直接对dp[2]操作了，防止空指针
vector<int> dp(n + 1);
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
for (int i = 3; i <= n; i++) { // 注意i是从3开始的
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}
};746. 使用最小花费爬楼梯
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文章讲解：代码随想录
动态规划法
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解题思路
- 跳到 下标 0 或者 下标 1 是不花费体力的， 从 下标 0 下标1 开始跳就要花费体力了。
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解题步骤
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确定dp数组以及下标的含义L使用动态规划，就要有一个数组来记录状态，本题只需要一个一维数组dp[i]就可以了。dp[i]的定义：到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。
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确定递推公式：可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。那么究竟是选从dp[i - 1]跳还是从dp[i - 2]跳呢？一定是选最小的，所以dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
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dp数组如何初始化：看一下递归公式，dp[i]由dp[i - 1]，dp[i - 2]推出，既然初始化所有的dp[i]是不可能的，那么只初始化dp[0]和dp[1]就够了，其他的最终都是dp[0]dp[1]推出。根据dp数组的定义，到达第0台阶所花费的最小体力为dp[0]，那么有同学可能想，那dp[0] 应该是 cost[0]，例如 cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] 的话，dp[0] 就是 cost[0] 应该是1。这里就要说明本题力扣为什么改题意，而且修改题意之后 就清晰很多的原因了。新题目描述中明确说了 "你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。" 也就是说 到达 第 0 个台阶是不花费的，但从 第0 个台阶 往上跳的话，需要花费 cost[0]。所以初始化 dp[0] = 0，dp[1] = 0;
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确定遍历顺序：本题的遍历顺序其实比较简单，简单到很多同学都忽略了思考这一步直接就把代码写出来了。因为是模拟台阶，而且dp[i]由dp[i-1]dp[i-2]推出，所以是从前到后遍历cost数组就可以了。
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举例推导dp数组：拿示例2：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] ，来模拟一下dp数组的状态变化，如果大家代码写出来有问题，就把dp数组打印出来，看看和如上推导的是不是一样的。
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代码一：动态规划
cpp
// 时间复杂度：O(n)
// 空间复杂度：O(n)
class Solution {
public:
int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
vector<int> dp(cost.size() + 1);
dp[0] = 0; // 默认第一步都是不花费体力的
dp[1] = 0;
for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {
dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
}
return dp[cost.size()];
}
};