完全二叉树与堆
前言
本文算是补充之前的系列,在前文中,讲了二叉树的基本结构与应用
二叉树从入门到AC(1)构建和前中后序遍历
二叉树从入门到AC(2)深度与层次遍历
二叉树的特殊形态
二叉树有两种常用的特殊形态:满二叉树和完全二叉树。如果一颗二叉树,其内部每个结点都有左右儿子 ,我们称之为满二叉树,这很好理解,如图所示:
我们在满二叉树中的最后一层,从右往左连续拔去至少零个结点 ,便是完全二叉树。也就是说,满二叉树是一种特殊的完全二叉树 。
以上都为完全二叉树
那么如何判断一棵树是不是完全二叉树呢?我们可以运用层次遍历的结构(前文有代码),首先将储存一颗非空树,在队列中遵循:
1.如果遇到一个结点,左孩子为空,右孩子不为空,则该树一定不是完全二叉树
2.如果遇到一个结点,左孩子不为空,右孩子为空;或者左右孩子都为空,且则该节点之后的队列中的结点都为叶子节点,该树才是完全二叉树
3.以上两个一直都没触发,说明是满二叉树
优先队列:堆
堆,是一种特殊的完全二叉树,每个结点储存一个值,其中,若所有父结点都小于其子结点,称为最小堆,反之则是最大堆。如图:
二叉堆是一种基础数据结构,C++ 的STL中的优先队列就是使用二叉堆。另外,堆排序也是一种二叉堆算法。
堆的作用主要面向一个问题:如何高效的在一组数据中任意插入删除任何值的情况下,始终找到最小值/最大值。
这种数据结构也被称为优先队列。
向下调整维护堆
以上图的最小堆为例,在数组中按层次遍历储存为3,5,7,9,8,11
要求:不限次数的删除最小值并插入进新的值,保持堆的属性(最小值在堆顶)
这时候我们删除堆顶的最小值3,并且添加任意一个数如10到堆顶,只要能维护这个堆的属性,我们就可以得到新的最小值。
于是设计算法,我们从堆顶开始 反复执行:把当前结点与左右儿子比对,并与最小的那个结点交换值,直到无法交换 (要么是左右儿子都更大,要么是到叶子结点了)
如图所示:
于是我们维护住了一个最小堆,最大堆也是同理。那么在代码层就好写多了,我们可以根据数组下标发现,设当前结点下标为i,我们只需要每次与2i和2 i+1相比并判断是否Swap就好
c
void Sswap(int a,int b)
{
int c=0;
c=arr[b];
arr[b]=arr[a];
arr[a]=c;
}
void siftdown(int i)//向下调整,用于寻找最值
{
int t=0,flag=0;
while(i*2<=n&&flag==0)
{
if(arr[i]>arr[i*2])
t=i*2;
else
t=i;
if(t*2+1<=n)
{
if(arr[t]>arr[i*2+1])
t=i*2+1;
}
if(t!=i)
{
Sswap(t,i);//交换两结点的值
i=t;
}
else
flag=1;
}
}
在主函数中,我们将数组调整为全局变量,并且i始终设为0,例如
c
int arr[6]={10,5,7,9,8,11};
int n=5;
int main()
{
siftdown(0);
for(int i=0;i<=n;i++)
{
printf("%d ",arr[i]);
}
return 0;
}
执行结果:
向上调整维护堆
如果我们需要不断向堆中添加数值而不删除数值怎么办?那么我们可以从下面的叶子结点开始添加,并逐一往上比对,来维护堆。
c
void siftup(int i)
{
int flag=0;
if(i==0)
return;
while(i!=0&&flag==0)
{
if(arr[i]<arr[i/2])
Sswap(i,i/2);
else
flag=1;
i=i/2;
}
}
我们将:arr[6]={3,5,7,9,8,1};
与i=5代入,
这便是堆的维护操作。
堆的作用
当我们输入一个数组,并求其最值时,我们一般会开max或min比对每个数并保留最值,这是时间复杂度最低的做法,为O(N)。但是当我们删除最小值并添加进一个新值之后,就相当于需要彻底进行一次重新排序,复杂度也来到了O(N^2),而同样的目的,由于堆的特性,维护起来只需要logN的时间。
那么我们如何用完全无序的数列建立一个堆呢?
c
void creat()
{
int i=0;
for(i=n/2;i>=0;i--)
{
siftdown(i);
}
}
即可。
在创建了堆之后,我们还有著名的排序方法,堆排序,网上到处都有模板在这里不赘述。另外,堆也是一种重要的优化思路出现在别的算法中,主旨都在于用更短的时间来在插入、删除元素的情况下捕捉最值(或者第n大的值也可以)。